S.GP

GP étant la distance du centre G à l'axe; le signe — provient de ce que les pressions sur S tendent à faire tourner le corps autour de A en sens contraire des pressions sur G. On a donc

M— />0S.GP =o.

Remarque. — D'après le théorème de Guldin, le volume V de la surface de révolution engendrée par une rotation complète de C ou de S autour de A est

V= SiTiGP; on a donc

PoV

La somme des moments des pressions appliquées à une surface courbe G par rapport à un axe, est égale au produit de

— par le volume de révolution engendré par la rotation de G 2 7T r ô r

autour de V axe.

644. Liquide pesant en équilibre isotherme. Plan de charge. Pressions sur une paroi plane. — Soit maintenant un liquide pesant incompressible et à une température constante : la densité 0 est alors constante, et le poids de l'unité de volume du liquide est

Si l'on prend un axe O^ vertical descendant, l'équation d'équilibre est

dp = w dz,

d'où

(l) p— p0= Tz(z — 80),

p0 désignant la pression à la hauteur z0.

Le liquide étant supposé en contact avec l'air au repos, la surface libre est horizontale. Supposons que z0 soit le z de cette

l80 ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.

surface libre; alors pQ est la pression sur la surface libre, c'està-dire la pression atmosphérique.

La formule (1) donne/? en un point quelconque.

Plan de charge. — Nous pouvons écrire

p =T3\Z — Zq-\

expression de la forme

(l) p = TB(z — Zi),

OU

Po

z\ — -Sq —

Le plan z = z{ est le plan de charge : ce plan est situé à une hauteur — au-dessus de la surface libre.

D'après la formule (2), la pression dans le liquide est la même que si l'atmosphère était supprimée et le niveau du liquide remonté jusqu'au plan de charge. On peut aussi énoncer ce fait de la façon suivante qui le rend intuitif : rien ne serait changé à l'état du liquide, si l'on supprimait l'atmosphère et si l'on ajoutait, audessus de la surface libre S0 du liquide, une couche du même liquide dont la pression sur S0 fût égale à ce qu'était la pression atmosphérique; par cette opération, le niveau du liquide serait porté jusqu'au plan de charge.

Prenons le plan de charge comme plan des xy : alors

Si = o,

et la pression en un point quelconque M est donnée par

Pressions sur une surface fermée. — Si l'on plonge dans le liquide un corps solide, d'après le principe d'Archimède, les pressions sur la surface ont une résultante unique égale et directement opposée au poids du liquide déplacé.

Inversement, si l'on imagine dans le liquide une surface fermée creuse remplie par le liquide, les pressions du liquide contenu dans cette surface sur les éléments de la surface ont une résultante unique égale au poids du liquide intérieur.