CHAPITRE XXXI. — HYDROSTATIQUE

point de cette aire était proportionnelle à la distance du point à la droite a" intersection de la paroi et du plan de charge.

En effet, la droite d'intersection du plan de la paroi et du plan de charge est Ox; la distance d'un élément do- de l'aire à cet axe est y' : si la densité de l'élément di était égale à y', la masse dm de cet élément serait y' do- et les coordonnées du centre de gravité de l'aire S seraient précisément x K et y\ .

Rapprochement avec le centre de percussion. — Le centre de pression de l'aire S coïncide avec le centre de percussion de cette même aire par rapport à la droite d'intersection du plan de la paroi avec le plan de charge. Gela résulte de la détermination du centre de percussion d'une aire plane, telle que nous l'avons donnée (n° 512).

Représentation géométrique. — Prenons comme plan de la fig. 3i2 un plan perpendiculaire à la paroi et au plan de charge :

Fi g. 012.

N b w.tm a D IN

soient NN la trace du plan de charge et BD celle de la paroi. En chaque point M de la portion considérée S de paroi plane, élevons à la paroi une perpendiculaire Mmr égale à la distance Mm du point au plan de charge. Le lieu des points m! est un plan, en sorte que, si le point M décrit la portion S de paroi, la droite Mmf engendre un cylindre tronqué AB b'af dont la surface pressée S constitue la section droite de base AB. La pression sur un élément de de paroi placé en M est égale à mMni'.d<r; si donc on plaçait verticalement le cylindre tronqué que nous venons de construire, rempli de liquide, la pression sur chaque élément d<7 serait précisément le poids de la colonne verticale de base do- du cylindre tronqué. La pression totale est donc le poids de ce cylindre liquide ABb'a\ et son point d'application C est la projection du centre de gravité G' du cylindre tronqué sur la paroi.

Exemples : i° Pression sur le fond d'un vase. — La pression sur le fond horizontal d'un vase est égale au poids d'une colonne cylindrique de liquide ayant ce fond comme base et, comme hauteur, la hauteur même du liquide. Cette pression est donc, en général, différente du poids du liquide : elle peut être, par exemple, de beaucoup supérieure au poids si le vase va en se rétrécissant à partir du fond. Néanmoins, si l'on pèse un vase vide, puis le même vase plein, l'augmentation de poids est évidemment le poids du liquide : cela tient à ce que l'ensemble des pressions exercées par le liquide sur toutes les parois du vase est équivalent à son poids (n°635).

2° Pression sur une portion circulaire de paroi. — a. La pression totale est égale au poids d'un cylindre de liquide ayant pour base le cercle et pour hauteur la distance de son centre au plan de charge.

b. Le point d'application G de la pression est sur le diamètre perpendiculaire à la trace du plan de charge, au delà du centre et à une distance du centre égale à une troisième proportionnelle entre la moitié du rayon et la distance du centre à cette trace.

645. Pressions sur une paroi courbe. — Soit une portion de paroi courbe G : sur un élément di de cette paroi s'exerce une pression normale p di : ces pressions constituent un ensemble de forces appliquées à un corps solide : elles se réduisent en général à une force et à un couple; ce n'est qu'exceplionnellement qu'elles se réduisent à une force unique. Ce dernier cas se présente toutes les fois que la paroi est une portion de surface sphérique, car les pressions normales p di concourent alors au centre de la sphère et se composent en une résultante unique.

Pour évaluer la somme des projections et la somme des moments de ces pressions par rapport à un axe, on peut suivre une méthode géométrique analogue à celle qui a été suivie pour les gaz.

Somme des projections des pressions sur un axe vertical. — Soit C une portion de paroi courbe, construisons la surface cylindrique verticale ayant pour directrice le contour de G et limitée en AB au plan de charge (ftg. 3 1 3). Nous avons ainsi une surface fermée de volume V remplie de liquide. Les pressions appliquées aux parois de cette surface fermée ont une résultante unique égale au poids mV du liquide contenu dans la surface. La somme de leurs projections sur la verticale descendante est donc m V. Or, cette somme se compose : i° de la somme cherchée Z des projections des pressions appliquées à G ; i° de la somme des projections des pressions appliquées à la surface cylindrique qui est nulle, car