CHAPITRE XXXI

HYDROSTATIQUE

ces pressions sont normales aux génératrices; 3° de la somme des pressions appliquées aux éléments de AB qui est nulle, car toutes ces pressions sont nulles.

Donc

Fi g. 3i3.

Somme des projections des pressions sur un axe horizontal D. — Si l'on construit une surface cylindrique horizontale ayant pour directrice le contour de G et fermée par une section droite AB d'aire S (fig. 3og), la résultante de toutes les pressions exercées par le liquide sur les parois du volume ainsi limité est égale au poids du liquide intérieur à ce volume. La somme des projections de toutes ces pressions sur un axe horizontal D est donc nulle. Gomme les pressions sur la surface cylindrique ont des projections nulles, on voit que la somme des projections des pressions appliquées à la paroi courbe G est égale, en valeur absolue, à la pression totale sur la paroi plane AB. On a donc, en appelant X la somme des projections des pressions appliquées à G,

X — /?gS = o,

pG étant la valeur de la pression au centre de gravité de l'aire plane S.

Somme des moments des pressions par rapport à un axe vertical A. — Construisons la surface de révolution obtenue en faisant tourner l'aire courbe G autour de A et menons en AB une section plane méridienne {fig. 3io). Appelons M la somme des moments des pressions appliquées à C et p. la somme des moments des pressions appliquées à la surface plane AB, par rapport à A.

Si l'on considère le volume liquide limité par G, par la surface

de révolution et par la section méridienne AB, les pressions exercées par le liquide intérieur sur la surface limite ont une résultante égale au poids de ce liquide. La somme des moments de ces pressions par rapport à A est donc égale au moment du poids qui est nul, car A est vertical. D'autre part, les pressions, appliquées aux éléments de la surface de révolution, ont des moments nuls, car elles rencontrent A; on a donc

On est ainsi ramené à calculer jj., c'est-à-dire à résoudre le problème des pressions pour une paroi plane AB.

646. Remarque sur la pression atmosphérique. — Il peut arriver que l'on ait à évaluer les pressions totales sur une paroi qui, par une de ses faces, est en contact avec un liquide pesant avant une surface libre S0 et, par l'autre face, avec l'atmosphère. Dans ce cas, un élément de de paroi situé à une distance z ■ — z0 au-dessous du plan S0 de la surface libre subit, sur la face en contact avec le liquide, une pression normale

[rs(z — z0) ^Po] d<s.

p0 désignant la pression atmosphérique, et sur l'autre face la pression p0 d<7 en sens contraire. La résultante de ces pressions est donc la force normale xn(z — z0) di^ c'est-à-dire la même que si l'atmosphère n'existait pas.

647. Exercice : Toile rectangulaire soumise à la pression d'un liquide pesant. — Imaginons un vase ayant la forme d'un parallélépipède rectangle à arêtes verticales, dont le fond est remplacé par une toile rectangulaire, imperméable, parfaitement flexible et inextensible, attachée par ses bords opposés aux droites AB, CD : les faces AA'D'D et BB'G'G sont supposées prolongées de façon à constituer finalement un vase clos {Jig- 3 [4, !)• On demande quelle forme d'équilibre prendra la toile, quand le vase contiendra un liquide pesant en équilibre.

On peut regarder comme évident que la toile prend la forme d'un cylindre horizontal dont la section droite a une forme indépendante de la longueur AB de la toile.

Pour avoir la forme de cette section droite, il suffit de chercher la figure d'équilibre d'une bande EF de toile comprise entre deux sections droites infiniment voisines dont la distance est s; nous assimilerons une