CHAPITRE XXXI. — HYDROSTATIQUE

ig3

carènes, les volumes des onglets LOXL' et FOXF' sont égaux. Soient deun élément du plan des XY placé en <?, X et Y ses coor-

données et soit Z la cote correspondante ee' du plan F'h' ; on a

évidemment

Z = Y tang-0,

Pour l'onglet de gauche FXF', Z est positif et le volume de cet onglet est

ffZ(h'

l'intégrale étant étendue aux éléments di placés à gauche de OX; pour l'onglet de droite LXL', Z est négatif et le volume de cet onglet est

-ffzd°'

l'intégrale étant étendue aux éléments d? à droite de OX.

Ces deux intégrales étant égales, leur différence est nulle, et l'on a

ff

Z cli = o.

cette dernière intégrale étant étendue à toute la flottaison FL. Remplaçant Z par YtangO et supprimant le facteur constant tang 0, on a finalement

J JfL

Yds

l'intégrale étant étendue à toute la flottaison. Mais cette équation signifie que le centre de la flottaison FL est sur OX, c'est-à-dire sur l'intersection de cette flottaison avec une flottaison quelconque infiniment voisine.

Le théorème est donc démontré.

Dans ce qui suit, nous désignerons par O le centre de la flottaison FL, point de contact de la flottaison avec la surface (F). La droite OX, intersection des deux plans infiniment voisins FL et F'L', est Yaxe d1 inclinaison dans le passage de la flottaison FL à F'L'. Voici la raison de cette dénomination :

On peut se représenter physiquement la fig. 3 1 6 de la façon suivante : Supposons d'abord le flotteur immergé dans l'eau jusqu'à la flottaison FL, puis écartons-le infiniment peu de cette position, en l'inclinant, de façon que le volume immergée reste le même; le plan de la surface libre prendra, par rapport au corps, une nouvelle position F'L'. Pour obtenir la nouvelle position du corps, il suffirait d'incliner la figure de façon que le plan F'!/ devînt horizontal.

Dans ces deux positions succcessives du corps, l'axe OX reste horizontal; on peut donc imaginer que l'on passe de la première position à la seconde en faisant tourner le corps d'un angle infiniment petit 9 autour de l'axe OX. A chaque position du corps infiniment voisine de la première, sous la condition que le volume immergé V reste le même, correspond ainsi un axe d'inclinaison OX passant par le centre O de la flottaison FL.

Pratiquement, on peut incliner un flotteur, un navire par exemple, de façon à lui faire prendre des positions dans lesquelles la carène conserve toujours le même volume. Il suffît pour cela de modifier la distribution intérieure du chargement; le navire prend alors diverses positions d'équilibre qu'on peut faire varier d'une manière continue, mais comme son poids n'a pas changé, le volume immergé est toujours le même.

652. Deuxième théorème. — ■ Le plan tangent en un point G de la surface des centres de carène est parallèle au plan de flottaison correspondant FL.

Soient G le centre de la carène détachée par FL, Cf le centre de

la carène détachée par F'L' (fig* 3i6). Ces deux carènes ont une partie commune située au-dessous de F'XL dont nous appellerons le centre A et le volume a. Les deux onglets LXL', FXF' sont équivalents; nous appellerons leurs centres respectifs B et B' et leur volume commun b.

Cela posé, le point C est le centre de l'ensemble des volumes a et b ayant leurs centres respectifs en A et B; on a donc

CA b CB ~ a'

De même, C est le centre des volumes a et b ayant leurs centres

C'A b C'Ef' ~ a

en A et B;; d'où

Les points C et C! divisant AB et AB' dans le même rapport, la droite CC est parallèle, à BB' et dirigée dans le même sens que BB'.

Si la flottaison F'L' se rapproche indéfiniment de FL, les points B et B' qui sont compris entre les deux flottaisons tendent à se placer dans le plan FL; le point C tend vers C et la droite CC/ parallèle à BB' tend vers une position limite parallèle au plan FL.

Cette position limite est tangente à la surface des centres de carène en C : ainsi les tangentes à la surface (C) en un point C sont parallèles au plan de flottaison correspondant FL. Ce qui démontre le théorème.

Remarque. — ■ La surface (C) est convexe en chacun de ses points : cela veut dire que, dans le voisinage d'un de ses points C, elle est d'un même côté du plan tangent en C. En effet, le plan tangent en C, CH (ftg. 3i6), est parallèle à FL; la droite BB' va d'un point B situé au-dessous de FL à un point B' situé au-dessus. La droite CC de même sens que BB1 est donc au-dessus du plan tangent CH, et le point C' est toujours au-dessus de ce plan tangent, quelle que soit la flottaison F' \J voisine de FL. L'indicatrice des courbures en C est donc toujours une ellipse.

653. Définition des métacentres. — Considérons comme précédemment la flottaison dans deux positions infiniment voisines, l'axe d'inclinaison pour passer de la première à la deuxième étant

OX (fig> 3 16). Menons les normales GN et C'N' à la surface (C) aux deux centres de carène C et C correspondant à ces deux positions. Traçons la perpendiculaire commune u.u/ à ces deux, normales; le point jj. est le métacentre correspondant à l'axe d'inclinaison OX.

On peut remarquer que pyJ est parallèle à OX, car les deux normales CN et C'N' sont respectivement perpendiculaires aux deux plans de flottaison FL et F'L/.