CHAPITRE XXXI. — HYDROSTATIQUE
développant z par la formule de Mac-Laurin, pour de petites valeurs de x et y,
(1) * = l(ro3*+*or2)-t---->
où rQ et t0 sont positifs, les rayons de courbure principaux en C, CM et Cm ayant pour valeurs — et — • Les équations de la normale C'N'au point O (x, y, z) sont
La perpendiculaire u[jt/ a pour projection sur le plan des xy la perpendiculaire Gv à la projection de G'N' sur ce même plan. Le plan Zu.uJ a donc pour équation
(Gv) pX-hqY=o.
En associant cette équation aux équations de G'N1, on en déduit les coordonnées du point [/.'. Cherchons en particulier le Z de ce point qui est le même que celui de u,. Nous avons, en tirant X et Y des équations (G'N') pour les porter dans l'équation (Gv),
7 ., Px^-qy
ou, d'après les valeurs de p et q tirées de (i),
Quand G' tend vers G, x, y, z tendent vers zéro et le rapport — tend vers une limite tanga, a étant l'angle que fait avec Ox la
Ou
direction limite de GC, c'est-à-dire la tangente en G à la courbe suivant laquelle G' tend vers G.
On a ainsi
7*0+ £0 tang2a
li m Z = G fi.
rj-+- t\ tangua
La valeur limite de Gu. est donc comprise entre — et —■> c'està-dire entre CM et Cm; elle est égale à l'une de ces quantités
igB ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.
quand a est égal àooiù-j c'est-à-dire quand la direction limite
de CC est une direction principale de la surface en G.
Les centres de courbure M et m correspondant au maximum et au minimum de G ut. s'appellent le grand et le petit métacentres relatifs au point G.
Remarque. — La direction limite de CC, de coefficient angulaire tanga, et la direction limite de la perpendiculaire commune [*[// ou de sa parallèle OX sont conjuguées par rapport à la conique indicatrice des courbures de la surface (G) au point G.
En effet, la conique indicatrice des courbures est actuellement l'ellipse
L'équation de la droite Gv parallèle à piu/ est
pX -f- q Y = o, ou, d'après les valeurs de p et q,
Quand x et y tendent vers zéro, de façon que — tende vers
ce
tanga, cette équation devient
r0X -+- t0Y tanga = o,
ce qui est l'équation du diamètre conjugué de la direction de coefficient angulaire tanga dans l'indicatrice.
Ce fait résulte aussi géométriquement de ce que p.p/ est parallèle à l'intersection des plans tangents en G et C; (théorème des tangentes conjuguées).
655. Quatrième théorème. — Soit I le moment d'inertie de V aire de la flottaison par rapport à un axe d inclinaison OX, le métacentre correspondant pi est à une distance de G
Considérons, comme plus haut, un plan de flottaison horizontale FL et un plan infiniment voisin F'L; faisant avec lui l'angle 0 et le coupant suivant l'axe d'inclinaison OX.
