CHAPITRE XXXI. — HYDROSTATIQUE. 2I

Conclusions. — Pour qu'un flolteur, dans une certaine position, soit en équilibre stable, il faut et il suffit :

i° Que la surface libre du liquide soit horizontale;

20 Que le poids du liquide déplacé soit égal au poids du flotteur ou, ce qui revient au même, que la surface de flottaison soit tangente à la surface libre;

3° Que le centre de gravité du flotteur soit sur la normale à la surface des centres de carène au centre de la carène immergée et au*-dessous du petit métacentre de cette surface.

Ces conditions ont déjà été indiquées par Dupin. Nous avons vu, dans le quatrième théorème, qu'en appelant 10 le moment d'inertie minimum d'une flottaison par rapport à des axes passant par son

centre, on a, pour la distance Qm du petit métacentre, -^- Si

donc la flottaison considérée correspond à une position d'équilibre, la condition de stabilité s'écrit

Oscillations du flotteur ébranlé puis abandonné à lui-même. — Le système formé par le flotteur et l'eau est de telle nature que, s'il n'y avait pas de frottements, la somme des travaux des forces de liaison serait nulle. Écartons alors le système de sa position d'équilibre, puis donnons-lui une impulsion initiale; nous aurons, d'après le théorème des forces vives,

P et P' étant les poids du flotteur et du liquide, h la hauteur du centre de gravité total au temps t, /?0 la valeur initiale de cette quantité et (Bp le travail des résistances passives; ïs>p est une quantité négative dont la valeur absolue, nulle au début, va sans cesse en croissant. En écrivant

(9) ^mp2+(P + P')A= ^mpJ + (P + P')Ao + e"

on voit que le premier membre va sans cesse en décroissant jusqu'au- moment où le système s'arrête dans une position d'équilibre.

Quand les oscillations sont de telle nature que la surface libre de l'eau puisse être regardée comme immobile, le volume immergé V est constant, le centre O du volume total au-dessous de la surface libre est fixe et l'on peut compter la hauteur h au-dessus du plan horizontal passant par O.

2l8 ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.

On a alors, d'après la fig. 3?,3,

A=ST = GHF^p-,,

et l'équation des forces vives (9) devient

^V/^ + PGH= -\?nvl -+-P(GH)04-^.

Cette équation est identique à celle que nous avons rencontrée pour les oscillations d'un corps pesant reposant par la surface (G) sur un plan horizontal fixe, à la fin du numéro précédent. Toutes les conséquences que nous en avons tirées s'appliquent donc à ces oscillations spéciales du flotteur. On peut, en particulier, mesurer la stabilité d'une position d'équilibre du flotteur, par la quantité P(/' — l) définie comme plus haut (Guyou, loc. cit.).

661. Exemples. — Pour l'application des théorèmes que nous venons d'établir à la théorie du navire, nous renverrons à l'Ouvrage de M. Guyou. Nous nous bornerons à en donner quelques exemples élémentaires; on en trouvera d'autres aux exercices :

i° Flotteur sphérique. — Pour un flotteur sphérique, les surfaces (F) et (G) sont évidemment des sphères concentriques à la proposée. Le centre de gravité G occupe dans la sphère une position quelconque : de ce point, on peut mener à la surface (G) deux normales; une d'elles donne le minimum de la distance de G à (G), l'autre le maximum de cette distance. A la première correspond une position d'équilibre stable, à la seconde une position d'équilibre instable.

20 Ellipsoïde. — Si le flotteur est limité par un ellipsoïde, les surfaces (F)et(C) sont des ellipsoïdes homothétiques et concentriques à la surface du flotteur. C'est ce qu'on voit immédiatement en faisant une transformation homographique qui transforme l'ellipsoïde en une sphère en altérant les éléments de volume dans un rapport constant.

On peut alors, du point G, mener à la surface (C), deux, quatre ou six normales réelles. Pour reconnaître les positions stables, il faut voir quelles sont les normales donnant des minima de la distance du point G à la surface (C).

Dans le cas de six normales, il y a toujours deux positions stables; dans e cas de quatre, il y en a une ou deux; dans le cas de deux, il y a seulement une position d'équilibre stable.

3° Flotteur avec un plan de symétrie. — Soit un flotteur admettant, non seulement au point de vue de la forme extérieure, mais au point de vue de la distribution de la matière, un plan de symétrie S. Le centre de gravité G est dans ce plan et la surface (C) admet ce plan comme plan de symétrie; elle le coupe donc à angle droit, suivant une courbe c; car