CHAPITRE XXXIF. — DÉFORMATION D'UN MILIEU CONTINU

ou en développant

dx{ fdyx dz\ dyx dzx\ dx\fdyx dz{ dy{ dzx

dx \ dy àz âz ôy ) dy \ àz dx dx dz

àxi/dyx àzi __ dy\ dzi\

dz \ dx dy ôy dx J

A l'instant £, ce déterminant est égal à -h i, car, à cet instant, xK , yK , z{ sont respectivement égaux à x, y, z. Quand tK varie, ce déterminant d'abord positif change de valeur. Nous allons trouver une expression remarquable de ce déterminant qui nous montrera qu'il reste toujours positif.

Soit, dans le milieu primitif, une surface fermée S limitant un volume V : à l'instant tK les points du milieu situés primitivement sur S sont sur la surface transformée S( ; aux points intérieurs à S correspondent des points intérieurs à S< et réciproquement. La masse de matière qui remplit la surface Si est donc la même que celle qui remplit S, et l'on a

( 5 ) / / / P1 d&i dy\ dzx — / / / p dx dy dz = o,

la première intégrale étant étendue au volume V< limité par Sf et la seconde au volume V limité par S. Gela résulte immédiatement de ce qu'un élément de volume du premier milieu est dx dy dz et la masse de cet élément pdxdydz; de même p4 dxK dyK dzK est la masse d'un élément de volume du second milieu.

D'après les formules classiques du changement de variable dans une intégrale triple, nous allons dans la première des intégrables (5) introduire les nouvelles variables ûc, y, z liées à xK , yK, z{ par les formules (i),où ^ a une valeur numérique donnée. On sait que pour obtenir la nouvelle intégrale, il faut remplacer l'élément différentiel

dxi dyx dzt

pour le nouvel élément différentiel

D dx dy dz où D désigne le déterminant fonctionnel (4) des variables X\,y\, ^\

par rapport aux variables x,y,z. Quant aux nouvelles limites d'intégration, elles résultent de ce fait que, pour que le point X\ , y\<,Z\ décrive une fois, et une seule fois, le volume V4, il faut et il suffît que le point #, y, z décrive le volume V : le nouveau volume d'intégration est donc V. D'après cela l'intégrale

ssi

Pi dxxdyx dz\

devient, après le changement de variables,

/ / / piD dx dy dz.

L'équation (5) peut alors s'écrire, si l'on remarque qu'après la transformation les deux intégrales sont étendues aux mêmes limites,

III ( pi D — p) dx dy dz = o.

Le volume V est un volume quelconque pris dans le milieu initial Si. Donc l'intégrale que nous venons d'obtenir doit être nulle quel que soit le volume V auquel elle est étendue dans le milieu initial : il faut évidemment pour cela que l'élément différentiel soit nul. On a donc

(6) ptD — p = o;

c'est là Y équation de continuité.

Le déterminant D, fonction de x, y, z, varie avec t{ , car la densité p1 au point P4 varie avec l'instant considéré tK . Pour th = t, P1 se confond avec P, p4 = p et le déterminant est égal à i , comme nous l'avons déjà vu. Quand tK croît, ce déterminant reste positif, car la densité o1 est une quantité positive de même que p.

Dans le cas particulier où la matière dont on étudie la déformation est un liquide incompressible à température constante, on a constamment

pi=p, D^i.

Si Ton introduit les projections u, V, W du vecteur PP, par