CHAPITRE XXXII. — DÉFORMATION D'UN MILIEU CONTINU

les formules

xx = x -+- u,

yL = y H- v,

le déterminant D s'écrit

du dx

ÔMV

ôy

dw "dF

Remarque. — Sans s'appuyer sur les formules du changement de variables dans une intégrale triple, on peut obtenir l'équation de continuité (6) en exprimant qu'un élément de volume infiniment petit entourant le point P conserve la même masse après la transformation : pour -faire le calcul, on prendra en P un parallélépipède rectangle construit sur trois segments infiniment petits issus de P parallèles aux axes et ayant pour longueurs respectives dxy dy, dz, et l'on exprimera que la masse de ce parallélépipède reste invariable dans la transformation. C'est du reste la méthode même qui donne les formules du changement de variables dans une intégrale triple. ( Voyez Bertrand, Calcul intégral, p. 4 !9- )

665. Dilatation cubique en un point. — Soit un élément de volume infiniment petit dz entourant le point P : cet élément se transforme en un élément dz{ entourant P, : sa masse restant inaltérée, on a

p1 dxx = p dx,

dxx — dx p dx p!

Mais le premier rapport est ce qu'on appelle dilatation cubique du volume dx, ou encore dilatation cubique au point P. Cette dilatation a donc pour valeur

D étant le déterminant (4)

l3i\ ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.

666. Déformation. Déplacement. — Imaginons un système matériel continu dont les éléments passent d'une manière continue d'une région de l'espace SI à une région <R4 . On dit que le système a subi une déformation quand on ne peut pas, en le transportant tout d'une pièce, à la façon d'un corps rigide, l'amener de l'état SI à l'état Si\. Dans le cas très particulier où l'on pourrait amener le système de l'état SI à l'état Si{ par un transport d'ensemble, on dit qu'il a subi un déplacement. Ainsi la déformation est un changement de forme, le déplacement un* simple changement de position. Deux déformations d'un même système continu sont regardées comme identiques, quand on peut passer de l'une à l'autre par un déplacement.

Nous allons montrer qu'une déformation d'un système continu est caractérisée par six fonctions.

Nous définirons ces fonctions, comme l'ont fait MM. Gosserat dans leur excellent Mémoire des Annales de la Faculté de Toulouse et dans une Note à la Cinématique de M. Kcenigs, en partant de la considération de l'élément linéaire. Les théorèmes sur la déformation d'un milieu continu sont, de cette façon, rattachés aux théorèmes classiques sur la déformation des surfaces et l'étude des ds2 à plusieurs variables (voir les Leçons sur la théorie des surfaces de M. Darboux, t. II et III).

667. Les six fonctions associées à une déformation. — Soient, comme plus haut, x, y, z les coordonnées initiales d'un élément matériel P du milieu Si, #,, y{ , zK les coordonnées de la position P4 du même élément à l'instant tK dans le milieu déformé Slt. Les quantités #,, yKl zK sont des fonctions uniformes de x, y, z. Reprenons les formules

(9) xi = a;-+-u, ji=7 + v, Zi = z -h w,

où u, V, w sont des fonctions uniformes en tous les points x1 y, z de c»l.

Soit P' [x 4- dx, y -+- dy. z -+- dz) un point du milieu Si. infiniment voisin du point P(.r, y, z)\ à ce point P' correspond, après la transformation, dans le milieu Sl{, un point

PJ(a?i-f- dxl}yi-h dyuZi-+-dzi)