CHAPITRE XXXII. — DÉFORMATION D'UN MILIEU CONTINU
infiniment voisin du point P< (#, , jKi , %\ )• Comme x{ , yx, zi sont des fonctions de x, y, z définies par les formules (i), on a
7 dx\ , dx\ 7 dxx , dx\ = — — dx h — r — dy H :— dz ,
ùx dy J dz
(.0) J 4yl=p.tb,+ pdjr+pd.',
v / I ^ dx dy ■ dz
dzx — -r— <£r H <^v H — — dz ,
\ eto? Oy J dz
ou encore, d'après les formules (9),
. / du\ 7 du . du ,
dxi - 1 + — ax -h — dy -h —■ dz ,
\ dx J Oy dz
( 10') < dy-i — — dx -t- ( r -+- — - ) dy -4- — dz,
J dx \ dy ) J Oz
\ , dw 7 dw 7 / <?w \ 7
a^i == cte -+- -r— av -H ( i -1 : — ' dz.
dx dy J \ dz j
D'après cela, en désignant par ds la distance infiniment petite PP; et par ds{ la distance VKV\ des points correspondants après la transformation, on a
ds* — dx* -f- dy* -+- dz* ds* — dx\ -h dy\ -h <£sf.
Dans cette dernière expression remplaçons c/^l5 d^ , ofe, par leurs valeurs (10) ou (10'), nous aurons pour ds2t une forme quadratique en dx, dy, dz que nous écrirons, pour nous conformer aux notations habituelles, de la façon suivante
| ds\ = (1+ 2£t) dx*-+- (i-f- 2ê2) dy* -h (1 -h 2E3) ^2
| + 2^i <ijK dz -h 2^2 ^ ^K + 2T3 ^ 4/*
d'où
ds\ — ds* = 2 £1 cfa?2 -h 2 s2 d[/2 h- 2 £3 6te2
h- 2-fi «(7 d^ -4- 2y2 dz dx -h 2 y 3 ofo? a£>'.
Les coefficients ei et v; s'expriment immédiatement soit à l'aide des dérivées partielles de xi,y<i, zs soit à l'aide des dérivées partielles de u, V, w suivant qu'on se sert des expressions (10) ou (io;). Ainsi en prenant les expressions (10) on aurait
d3) - (dXxY (*a±\% * (âzi\2
\ dx J \ Ox J \dx J
Nous écrirons les expressions de ces coefficients en fonction de u, v, w
du
dx
if/duy fdvY (àw\-~
i [ \ dx J \ dx ] \ dx j
Yi =
dw dy
dv du du dy dv dw
dz dy dz dy dz dy
Iz'
s2 et e3 se déduisant de e{ , y2 et y.3 de y< par permutation circulaire des lettres x, y, z et u, v, w.
Ces six coefficients sont des fonctions de x, y, z qui caractérisent la déformation considérée. Cela résulte des deux théorèmes suivants :
Premier théorème. — Si les six fonctions st, £2, £3; Y1' Y2' Y3 sont identiquement nulles, la déformation est nulle et Von peut amener le milieu de V état Jl à V état <R, par un déplacement d'ensemble. Réciproquement, si la déformation est nulle, les six fonctions sont nulles.
En effet, si les fonctions sont nulles, on a, d'après l'identité (12),
dsi = ds ;
la distance de deux points infiniment voisins quelconques P, P' du milieu primitif est égale à la distance des deux points correspondants P1 , P\ du milieu transformé. A une ligne quelconque ALB joignant deux points A et B du milieu primitif correspond une ligne AiL,B1 de même longueur joignant les deux points correspondants A, et B< du milieu transformé : cela résulte évidemment de ce que les éléments de longueur correspondants des deux lignes L et L{ sont égaux. A la ligne la plus courte joignant les points A et B correspond donc, dans le milieu transformé, la ligne la plus courte joignant A, et B< ; en d'autres termes, le segment de droite AB se transforme en un segment de droite égal A1B1. Un triangle ABC du milieu primitif se transforme donc en un triangle égal A1B1 C< du milieu transformé.
Soient alors P un point quelconque du milieu primitif, P< le point correspondant du milieu transformé, en joignant par des droites
