CHAPITRE XXXII. — DÉFORMATION D'UN MILIEU CONTINU

Je point P aux points ABC et le point P< aux points A1 Bi G, on obtient deux tétraèdres dans lesquels les arêtes correspondantes sont égales : ces tétraèdres sont donc égaux ou symétriques : Mais, comme par hypothèse la transformation du milieu de l'état A à l'état Ai a lieu d'une manière continue, sans que le déterminant

pi

cesse d'être positif, les deux tétraèdres ne peuvent pas être symétriques et sont nécessairement égaux. On amènera donc tous les points tels que P à coïncider avec les points correspondants?^ en déplaçant le premier milieu tout d'une pièce de façon que le triangle ABC se place sur son égal A, B, C, .

On a alors nécessairement p, = p et par suite D = j.

Quant à la réciproque, elle est évidente : si la déformation est nulle, on a identiquement ds] = ds2 et par suite les six fonctions s; et y/ sont nulles.

Remarque. — Nous avons dit que, le déterminant D étant positif le tétraèdre matériel PABG ne peut pas se transformer en un tétraèdre symétrique; en effet, il est facile de vérifier que, dans une transformation par symétrie, le déterminant D est égal à — i .

Indications sur la démonstration analytique. — En égalant à zéro les six expressions (i4) de s\, e2, £3, yi, y2, Y3> on a des équations aux dérivées partielles définissant u, v, w en fonction de x, y, z. L'intégralion de ces équations montre que u, v, w et, par suite, Xi, yx, z± sont des fonctions linéaires de x, y, z :

Xi~ a -h eux -h i^y -+- a2£, j1= b -+- fix -h p,7-f- p2*, Zl = c + y# +YijK4-Y2-s,

où a, b, c sont des constantes quelconques que nous regarderons comme les coordonnées d'un certain point fixe O', mais où a, fi, y, a1? (3l5 yj, a2, ^2> Y2 vérifient les six relations qui expriment que ces quantités sont les cosinus directeurs de trois axes rectangulaires O'x', O'y', O'z', par rapport aux axes Ox, Oy, Oz. En outre, ces trois axes sont orientés comme les axes 0 x, y, z, car le déterminant D est actuellement le déterminant des neuf cosinus a, fi, y, a1? fi\, yi, a2, (32, y2 qui est égal, comme on sait, à ± 1. Mais D étant essentiellement positif, le déterminant des neuf cosinus

est -+- 1 et l'orientation des deux systèmes d'axes est la môme. Dès lors, prenons le milieu Si. regardé comme invariablement lié aux axes Ox, y, z et transportons-le tout d'une pièce de façon que les axes Ox, y, z se superposent à O' x', y' ', z' : chaque point P du milieu cR. ira se placer sur le point correspondant Pj du milieu Sl\.

Second théorème. — Deux déformations d'un même milieu Si, pour lesquelles les six fonctions s, et y, sont identiques, sont des déformations identiques, c'est-à-dire telles que Von passe de Vune à Vautre par un déplacement d'ensemble, et réciproquement .

En effet, la première déformation amène le milieu^ à J'éLat ^Rl ; un élément linéaire ds\ de milieu Si\ est lié à l'élément correspondant ds du milieu $1 par la relation (12). La seconde déformation amène le milieu Si à l'état <R2 '■> un élément ds2 du milieu déformé <ft2 est lié à l'élément ds du milieu primitif Si. par une relation analogue à (12). Comme les six fonctions e; et y/ sont supposées les mêmes dans les deux déformations, on a

Deux éléments linéaires correspondants des deux milieux Si{ et #t2 sont donc égaux. On en conclut, comme dans le théorème précédent, que le milieu SL{ et le milieu SL2 peuvent être superposés par un déplacement d'ensemble.

Inversement, si les deux déformations transformant SI en Sii puis en Jl2 sont identiques, on a

CLo c) — CLS 7

et les six fonctions g, et y, sont les mêmes pour les deux déformations.

668. Dilatations linéaires autour d'un point du milieu primitif : ellipsoïde des dilatations en ce point. — Les considérations suivantes précisent la signification des six coefficients e» et y, .Soient P un point choisi dans le milieu primitif et Pt son correspondant dans le milieu déformé. Prenons un point quelconque P' infiniment voisin de P situé à la distance PP' = ds du point P; à ce