CHAPITRE XXIX. — ATTRACTION. POTENTIEL. l'j
548. Attraction de plusieurs points isolés sur un point. Potentiel. — Soient n points fixes de masses m{1 //i2, . . ., mnj et un point mobile P de masse m situé aux distances /,, r2, . . . , rn des points fixes. Les valeurs algébriques FM F2, ..., F„ des attractions de ces points sur le point P sont
flimi f\J.m.2 fpmn. r i = — -— 7i — ) r 2 = -g— > • • • , r „ — -g— ,
la résultante F de ces attractions dérive d'une fonction de forces que l'on obtient immédiatement comme il suit (voyez Tome I, Chap. IV). Imprimons au point P un déplacement infiniment petit PP'; le travail de la résultante F est égal à la somme des travaux élémentaires des composantes qui sont F, dr ,, ¥2dr2j . . ., Fndrn : il a donc pour expression
flxmij flxm2 j, f\x.mtldrtl
dr-j
rr,
Or cette expression est la différentielle totale de la fonction
„ / //il III) II,
En posant
TT — mi m- m'1
r\ r, " ' rn ' on voit que la résultante F dérive de la fonction de forces
Si Ton appelle x,y, z les coordonnées du point P, U est une fonction de oc, y, z: et il serait aisé de vérifier que les projections de F sur les axes peuvent s'écrire
J l àx dy J ' ùz
Il suffit donc de connaître la fonction U pour en déduire l'attraction des points donnés sur le point P. Celte proposition est due à Lagrange.
En particulier, l'attraction résultante K des points donnés sur un point de masse i placé au point P a pour composantes suivant
les axes,/*-- , f-^-» f-r-* Gelte force K est normale aux surfaces
J ùx J dy J dz
U = const.
appelées surfaces de niveau ou surfaces équipotentielles : elle est dirigée par rapport à chacune de ces surfaces du côté où U
croit et a pour intensité/ -j- > -y— désignant Ja dérivée de U suivant
la normale à la surface de niveau.
La composante de l'attraction K suivant une demi-droite quelconque PD est égale à la dérivée dej^U suivant la direction PD,
v ev U|v— Up KD =/lim ^p7—
quand PP' tend vers zéro (Tome I, Chapitre TV).
Nous appellerons le point P où l'on prend la valeur du potentiel, le point attiré ou le point potentié ; cette dernière expression est employée par M. Boussinesq dans ses Compléments de Calcul intégral.
549. Champ de forces; lignes de forces; tubes de forces. — L'ensemble des forces R qui agissent sur un point de masse i occupant successivement diverses positions de l'espace s'appelle un champ de foi-ces. En chaque point P du champ, la force K est déterminée : la direction et l'intensité delà force K en P s'appellent direction et intensité du champ au pointV. Sur un point de masse jjl placé en P agit une force F= [J.K.. On dit que le champ est uniforme quand les forces qui le constituent sont égales et parallèles. Par exemple, dans une petite étendue, la pesanteur donne naissance à un champ uniforme.
On appelle, d'après Faraday, lignes de forces, des lignes telles que leur tangente en chacun de leurs points coïncide avec la force K du champ à ce point. Ces lignes sont les trajectoires orthogonales des surfaces de niveau. Par chaque point du champ, en dehors des centres attractifs, il en passe une, et une seule. Par exemple, dans un champ uniforme, les lignes de forces sont des droites parallèles; dans un champ provenant de l'attraction d'un seul point m<, toutes les forces sont dirigées vers ce point et les lignes de forces sont des droites concourant en mK.
