CHAPITRE XXXII. DÉFORMATION d'un MILIEU CONTINU

>ar exemple,

An — s/ 1 h- 2 s;

679. Théorème. — Toute déformation homogène peut être obtenue par une translation et une rotation suivies d'une déformation pure. — En effet, soient OXYZ les axes principaux de l'ellipsoïde des dilatations en un point quelconque O, déter-

Fig. 325.

Zi

Pi

miné dans le premier 'milieu Si. : on sait que la déformation fait correspondre à ces trois droites rectangulaires trois autres droites rectangulaires 01 X4 Y< Z, .

Considérons le système primitif non déformé SI comme un solide invariablement lié au trièdre OXYZ et transportons ce solide en Si' de façon à faire coïncider le trièdre OXYZ avec le trièdre 01X1Y1Z1, chaque axe se plaçant sur son correspondant. Ce déplacement peut-être réalisé par une translation amenant O en 0{ suivie d'une rotation autour d'un axe issu de 01 amenant les deux trièdres en coïncidence.

Une fois ce déplacement effectué, pour passer du milieu continu <ft/ au milieu continu final «fJlh il faut lui faire subir une déformation pure d'axesOi X, Y{ Z1 . En effet, soient P un point quelconque du milieu Si, P< sa position finale dans le milieu Sl{. Après le déplacement d'ensemble du milieu SI en Si', obtenu par la superposition de OXYZ à O, X{ Y, Z, , le point P occupe une position P' dans le milieu Si'.

Il faut montrer que la transformation du milieu Si' dans le milieu final <Rl7 transformation qui fait correspondre à chaque point P' le point P< , est une déformation pure d'axes 01X,Y1Z<. Or cette dernière transformation est évidemment une transformalion homogène dans laquelle les axes O^ X, , 0{ Y< , O, Z, se cor-

respondent à eux-mêmes, car P' étant sur OtXn P est sur OX et, par suite, P< sur OjX,. C'est donc une déformation pure d'axes 0,X4 Y, Z1 .

Cette réduction d'une déformation homogène aune translation, suivie d'une rotation, suivie d'une déformation pure est possible d'une infinité de manières, car le choix du point O est arbitraire: mais la translation seule change avec le choix du point O ; la rotation et la déformation pure sont inaltérées; ce dernier fait résulte de ce que, quel que soit le choix du point O, les trois droites OXYZ sont parallèles à des directions fixes et que leurs transformées OlX1Y1Z, sont également parallèles à trois autres directions fixes.

Nous avons (n° 667) considéré comme identiques deux déformations qui peuvent se ramener l'une à l'autre par un déplacement d'ensemble. On peut donc résumer le théorème que nous venons de démontrer en disant que toute déformation homo gène est identique à une déformation pure.

Remarque I. — Il est évident que, pour amener les axes OXYZ en coïncidence avec 01 X, Y^ Z,, on pourrait faire d'abord la rotation des axes OXYZ de façon à les rendre parallèles aux axes 0{ Xi Y4 Z4 , puis la translation 00< . On peut donc, dans le théorème qui lait l'objet de ce numéro, faire d'abord la rotation, puis la translation et enfin la déformation pure.

Remarque II. — Dans le cas particulier où la déformation homogène donnée serait pure,

#12=#21j «23 — a32i aSl — #13 5

les axes Oi Xi YjZ, seraient parallèles aux axes OXYZ et, pour superposer ces deux systèmes d'axes, il suffirait d'une translation. La rotation serait alors nulle.

III. — RETOUR A UNE DÉFORMATION QUELCONQUE, DÉFORMATION HOMOGÈNE TANGENTE EN UN POINT.

680. Déformation quelconque : déformation homogène tangente en un point. — Si nous revenons au cas général d'une déformation quelconque, cette déformation est caractérisée par les six fonc-