CHAPITRE XXXII. — DÉFORMATION D'UN MILIEU CONTINU. l

lions £/ et Y/ des coordonnées x, y, z du point P dans le milieu non déformé lii. Envisageons une portion du milieu non déformé entourant un point P : si cette portion est suffisamment petite, les six fonctions s; eiYij qui sont des fonctions continues de x,y, z, conserveront, en ses différents points, sensiblement les mêmes valeurs, celles qu'elles ont au point P. Gomme une déformation homogène est caractérisée par ce fait que les six fonctions £; et y, sont constantes, on peut donc dire qu'une portion suffisamment petite de matière entourant un point P du milieu primitif subit une déformation homogène dont les six composantes sont les valeurs que prennent, au point P, les six fonctions s; et y, caractéristiques de la déformation considérée. Cette déformation homogène, qui coïncide avec la déformation considérée dans une région très petite entourant P, est appelée déformation au point P, ou déformation homogène tangente à la proposée au point P.

Si donc on imaginé une portion de matière très petite (m) entourant le point P et la portion correspondante (m^) entourant le point correspondant P, , la déformation homogène tangente en P transforme (m) en {ni\) : il en résulte qu'on peut faire coïncider (m) avec (ni\) par une translation, suivie d'une rotation, suivie d'une déformation pure. La translation amène P en P1 , la rotation amène les trois éléments linéaires ds, dsf,d$", dirigés suivant les axes PXYZ de l'ellipsoïde des dilatations en P, à coïncider en direction avec les trois éléments transformés dsx, ds'{1 ds\ dirigés suivant trois axes rectangulaires P1XiY1Z, ; enfin la déformation pure achève d'amener {m) sur (?ni ) par trois dilatations rectangulaires suivant les axes P, Xt Y, Z, , dilatations choisies de telle façon que les éléments ds,dsr, ds" deviennent ds{.

Cette rotation et cette déformation pure sont bien définies en chaque point P du milieu primitif : on les appelle rotation au point P et déformation pure au pointV.

681 . Définition analytique de la déformation homogène tangente en un point. — Prenons dans le milieu primitif, avant la déformation, un point quelconque P de coordonnées x, y, z et imaginons une portion infiniment petite de matière (m) entourant III. 17

2r)8 ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.

ce point. Soient x -|- dx, y -f- dy, z -f- dz ies coordonnées d'un point P' de cette portion de matière {m). La déformation fait correspondre au point P un point P{ de coordonnées

(Pi) a?i = a? -f- u, jKi=JK + v> *i=*H-W,

et an point P' un point P', infiniment voisin de P1 ayant pour coordonnées

X\ -t- dx\ = x -+- u -t- d(x -+- u). .... c'est-à-dire

/ 7 du , du , du ,