CHAPITRE XXXII. — DÉFORMATION D'UN MILIEU CONTINU

formules actuelles, car les conditions

sont précisément les conditions nécessaires et suffisantes pour que

u dx -+- v dy h- w dz

soit une différentielle totale exacte. On dit alors que la déformation infiniment petite est longitudinale ou irrotationnelle .

687. Cas où la dilatation cubique est nulle en chaque point; déformation transversale. — Lorsqu'une déformation infiniment petite est telle que la dilatation cubique en chaque point est

nulle,

du àv dw dx dy dz

on dit que la déformation est transversale.

Cette circonstance se présente, par exemple, dans la déformation infiniment petite d'un liquide incompressible à température constante.

688. Cas où la déformation est nulle en chaque point. — Nous avons vu, dans le cas général, que, si les six coefficients caractéristiques £/ et y/ sont identiquement nuis, la transformation est un simple déplacement. C'est ce qu'il est aisé de vérifier dans le cas actuel. D'après les valeurs des e{- et y, pour une déformation infiniment petite, les équations exprimant que £t , s2, s3, y( , Y2, J-.) sont nuls s'écrivent :

dv dy

dw ' dv

à y dz

du dz

àw dx

~~dz

dv dx

du dy

Différentions les équations du deuxième groupe respectivement par rapport à x, y, z\ nous aurons (')

dx dy dx dz dz dy dx dy dx dz dy dz

(l) PoiNCARÉ, Leçons sur l 'Élasticité, page i4-

d'où Ton déduit

Oy ôz ôz ôx dx aj

Les relations

du ^2u

dx oy ôz

montrent, Ja première que u ne dépend pas de x et Ja seconde que u est la somme d'une fonction de y et d'une fonction de z

on trouve de même

L'équation donne alors

u=/i(.r)4-<piO); v = /î(*)-H<p»(a?),

W=/3(a?)-h^3(jK)-

ÙMV ÔV

Mais y et s étant indépendants, cette relation ne peut avoir lieu que si

?i00 =— /i(*) = Pu

pt désignant une constante. On a de même

en intégrant et portant les expressions trouvées pour f\{y), cp, (s), ... dans u, V, w, on a

u — ai-+-p2z — psy,

v — a2+jo3r — ptz, w = «3 + pty — p=>x,

a^ rt2, ci-i étant des constantes d'intégration. Ces formules définissent un déplacement d'ensemble infiniment petit d'un solide invariable : translation (ci{ , a2^a^) et rotation élémentaire (/?,, /<>2, />s)-

689. Déformation à la fois longitudinale et transversale. — Pour qu'une déformalion infiniment petite soit pure (ou longitudinale) en tous ses points, il faut et il suffit que la rotation soit

ày