CHAPITRE XXXII. — DÉFORMATION d'l'N MILIEU CONTINU

nulle en chaque point, on encore que les vecteurs u, V, W dérivent d'une fonction F

Pour qu'en même temps la dilatation cubique Q soit nulle en chaque point (déformation transversale), il faut et il suffit que

du dsr ô-w

dx dy dz

Remplaçant u, V, W par leurs expressions, on voit qu'il faut et suffît que F(.£, y1 z) vérifie l'équation de Laplace

dx"1 dy'1 dz'1

Cette circonstance ne peut pas se présenter pour un milieu limité par une surface S, si on suppose la déformation nulle à la surface : car la fonction harmonique F élant finie ainsi que ses dérivées premières et secondes dans l'intérieur de S et les dé-

. , dF ÔF dF . u . c dF . .

rivées -r-> -?—> — - étant nulles sur la surlace, -r- est nul sur la surdx dy dz an

face et F constant dans l'intérieur (n° 594). Le déplacement (3g)

d'un point quelconque du milieu est alors nul.

EXERCICES

1. Équations aux dérivées partielles auxquelles satisfont les six fonctions st- et y- dans le cas d'une déformation infiniment petite. — Il s'agit d'éliminer les trois fonctions u, v, w entre les six équations (35) du n° 684.

Solution. — En introduisant comme fonctions auxiliaires les composantes pr p2, p3 de la rotation au point P, on a

dw i du i

hp» dx- = ^~p- oy~-

dx~ = c"

En éliminant u, v, w on a neuf relations de la forme

dzt d / 1

dy "= ^UÏ3/?3

âi\l*-*)=fr\V*+A

Résolvant ces équations par rapport aux dérivées partielles de /?,, p2, p6, on a

àpl i dy2 \ dy3

dx 2 dy 2 dz

ôpl i dy{ ds2

~ày 2 dy dz

L'élimination de p{, p2, p3 donne six équations dues à Barré de Saint- Venant trois de la forme

À (i (tt2 — l ^h\ = A f1 foi ^h

dy \ 2 dy i dz j dxX'i dy dz

et trois de la forme

d (\ dy{ àe2\ d f dz3 i dy, dz \ 2 dy dz J ày\dy 2 dz

(voir le Mémoire Sur la Théorie de l'Élasticité, par M. M. Cosserat, Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, t. X, ire Partie, p. 36).

2. Déformation homogène. Extension simple. — On dit qu'une déformation homogène est une extension simple quand toutes les droites parallèles à une certaine direction sont dilatées et que les droites perpendiculaires restent invariables en longueur. On demande quelles conditions doivent remplir les quantités ep e2, £3 Tn Ï2> Ï2> relatives à une déformation homogène (n° 675), pour que cette déformation soit une extension simple. •

Réponse. — Il faut et il suffit que dans la dilatation pure équivalente (n°677) deux des coefficients de dilatations principales soient nuls, par exemple A,=Au=o, A2 = A22= o, ou encore que dans l'équation en S, relative à l'ellipsoïde des dilatations (n°670), deux racines S, et S2 soient égales à 1.

On a ainsi les deux conditions

t\ -+- Tf -+- TÎ — 4(^2£3-^ £3£i-+- £i£2) =0,

4£1S2£3+TlT2T3-£lTf — S2ï| — £3Ï| = O,

dont les premiers membres sont des invariants ( n° 671).

Le troisième coefficient de dilatation principal A3 mesure la grandeur e de cette extension simple. Comme dans l'équation en S du n° 670 on a en général

•S, + S2-i- S3:= 3 + 2(8, -1- e2H- e3), on a actuellement

e = A3 = vS3— 1 = y/i-f- 2 (sA -+- e2 + e3)— 1

(voir Love, A Treatise on the Mathematical Theory 0/ Elasticity, t. I, p. 4*i et M. M. Cossserat, loc. cit., p. 27 ).

3. Déformation homogène. Glissement simple. — Une déformation homogène est un glissement simple quand tous les points dans un certain plan P restent dans ce plan en conservant leurs positions primitives, tandis que les points situés dans un plan quelconque Q, parallèle au premier, restent aussi dans leur