CHAPITRE XXXIII. — CINÉMATIQUE DES MILIEUX CONTINUS

coordonnées initiales <2, b, c et du temps :

( z —fz(a, b, c, t),

il est facile d'en déduire les expressions de «, c, w en fonction de x, y, z et t. Pour cela, on écrira

( u= ft(a,b,c,t).

les seconds membres désignant les dérivées de /*, y , , f2 par rapporta £. En tirant «, &, c des équations (i) pour les porter dans les expressions (2), on aura u, v, W en fonction de x, y.

Pour passer inversement des variables d'Euler à celles de Lagrange, il faut intégrer un système d'équations différentielles du premier ordre, de façon à déterminer les trajectoires.

Trajectoires des éléments matériels dans le système d' Euler. — Supposons que l'on connaisse, dans le mouvement d'un fluide, //, v, w en fonction de œty, z, t, fonctions que nous appellerons u [x, y, 5, £), .... Proposons-nous de trouver les trajectoires des divers éléments matériels du milieu continu. Le long d'une trajectoire, les coordonnées x, y, z d'un élément dm suivi dans son

choc d\f d s mouvement sont des fonctions de t. dont les dérivées - .-» -—-■> -=-

' dt dt dt

sont les projections w, t>, w de la vitesse de l'élément; on a donc

les équations :

(iC ) I -£ = 9 {x>y,z, t),

dx ~di

dy dt

dz dt

Ces équations sont trois équations différentielles du premier ordre définissant x, y, z en fonction du temps et de trois constantes arbitraires qui seront, pour fixer les idées, les valeurs a,

b, c de #, y, z pour t = o. On aura ainsi, par l'intégration de ces équations :

x=f(at b,c, t)9 y — fi(a, b, c, t), z =/2(a, b, c, t), et l'on sera revenu aux variables de Lagrange.

703. Lignes de courant ou de flux à un instant. — Adoptons les variables d'Euler. A l'instant t, l'élément dm qui passe au point V^x, y, z) a une vitesse W dont les projections w, v, w sont fonctions de x, y, z, t. L'ensemble de ces vitesses au temps t forme ainsi un champ de vecteurs.

On appelle lignes de courant ou lignes de flux à V instant t les lignes de vecteurs de ce champ, c'est-à-dire les lignes telles que la tangente en chacun de leur point P soit le vecteur correspondant W.

Ces lignes ont pour équations différentielles les équations

dx dy dz

dans lesquelles t a une valeur numérique correspondant à l'instant considéré. L'intégration de ces équations donne un système de courbes dont les équations sous forme finie

<P(x,y, z, t) = G, *iO,JK, *>l) = Ci,

contiennent deux constantes arbitraires G et C\ et la lettre t qui est supposée avoir une valeur déterminée. Ces lignes varient avec l'instant considéré t.

Les lignes de courant sont distinctes des trajectoires. — En effet, les trajectoires sont définies par les équations différentielles (16), où t est variable, tandis que les lignes de courant à un instant t sont définies par les équations (ij ) où t a une valeur numérique déterminée.

Ainsi, pour prendre un exemple tout à fait élémentaire, imaginons un corps solide en mouvement. C'est là un milieu continu en mouvement; seulement ce mouvement a lieu sans déformation. Les trajectoires sont les courbes suivies par les divers points matériels du corps, courbes qui peuvent être de natures très