CHAPITRE XXXIII. — CINÉMATIQUE DES MILIEUX CONTINUS

diverses suivant le mouvement du corps solide. Mais cherchons les lignes de courant à un instant t] nous allons voir que ce sont des hélices. En effet, à l'instant £, l'état des vitesses W des divers points du solide est le même que si ce solide était animé d'un certain mouvement hélicoïdal appelé mouvement hélicoïdal tangent (Chapitre II). Chaque vecteur W est donc tangent en son point d'application à l'hélice que décrirait ce point dans le mouvement hélicoïdal tangent; les courbes auxquelles les vecteurs W sont tangents, en leurs points d'application, sont donc des hélices. C'est ce qu'il serait aisé de vérifier analytiquement d'après les formules

( M-= a ~qz — ry, (18) } v—^-^j'x — pz,

qui donnent les projections, sur les axes fixes Oxyz, de la vitesse W d'un point'P(^, y, z) d'un corps solide, a, (3, y, /?, q, r étant des fonctions du temps t (Chapitre II).

Il est cependant un cas particulier où les lignes de courant se confondent avec les trajectoires : c'est Je cas du mouvement permanent.

704. Mouvement permanent au point de vue cinématique. — On dit que le mouvement est permanent quand le champ de vecteurs représentant l'état des vitesses du milieu à un instant quelconque t reste le même quel que soit t. Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffît que les projections w, v, w de la vitesse de l'élément qui, à l'instant t, passe au point x,y,z soient indépendantes de t. Dans ce cas, u, v, w dépendent uniquement de x, y, z. Par exemple, dans un jet d'eau alimenté d'une façon régulière, si l'on porte son altention sur un point géométrique déterminé P choisi dans le jet, la vitesse de l'élément fluide qui passe en ce point est toujours la même : à chaque instant, un nouvel élément passe en P, mais il y passe constamment avec la même vitesse; le mouvement est permanent.

Dans ce cas, les lignes de courant à un instant quelconque se confondent avec les trajectoires, car w, p, w ne contenant pas t, les équations différentielles (16) des trajectoires peuvent être dé-

barrassées du temps et être écrites

dx dy dz

elles sont identiques à celles des lignes de courant (17).

Dans le cas général, quand le mouvement n'est pas permanent, les trajectoires forment un système de courbes dont les équations dépendent de trois constantes arbitraires , à savoir les coordonnées initiales a, b, c des divers points P0 du fluide ; c'est ce qu'on appelle un système triplement infini de courbes. Mais lorsque le mouvement est permanent, les trajectoires se confondent avec les lignes de courant, et leurs équations ne dépendent plus que de deux constantes arbitraires ; elles forment un système de courbes doublement infini. Cela tient à ce qu'une même trajectoire est alors suivie par une infinité simple de points matériels, car les points qui, à un certain instant, se trouvent sur une trajectoire déterminée, suivent tous cette trajectoire.

Nous avons pris tout à l'heure, comme exemple, un corps solide en mouvement; le mouvement d'un corps solide est permanent quand c'est le mouvement d'une vis dans un écrou fixe; tous les points du corps décrivent alors des hélices de même pas qui se confondent avec les lignes de courant. Au point de vue analytique, le mouvement d'un corps solide est permanent quand les valeurs de u, p, w données par les formules ( 18) sont indépendantes de t, c'est-à-dire quand a, t3, Y,/?, q, r sont des constantes.

Nous reviendrons sur la question du mouvement permanent dans la dynamique des milieux continus.

70o. Rotation moyenne ou tourbillon en un point, à un instant. — En adoptant les variables d'Euler, on appelle rotation moyenne en un point P à l'instant /, ou encore tourbillon au point P à l'instant £, le vecteur û ayant pour origine le point P et pour projections sur les axes les quantités £, 7), Ç définies parles formules

y dw dv du dw dv du

b dy dz ' Oz dx b dx dy

Les vitesses W(«, r, w) à l'instant t forment un champ de vecteurs appliqués aux divers points P pris dans la masse fluide : les