CHAPITRE XXXIII. — CINEMATIQUE DES MILIEUX CONTINUS

vecleurs tourbillons ù forment an même instant un nouveau champ de vecteurs que nous avons déjà considéré d'une manière générale dans le premier chapitre de ce Volume.

Voici la raison de cette dénomination de rotation moyenne ou tourbillon donnée au vecteur Q.

Considérons la déformation infiniment petite par laquelle on passe, des positions des points du milieu à l'instant t: aux positions des mêmes points à l'instant t{ — t -f- cit. Si x,y, z sont les coordonnées d'un point du milieu placé en P à l'instant t, ce même point matériel à l'instant t{ = t -\- dt occupe une position infiniment voisine P< de coordonnées

11 dt ,

vdt ,

w dt .

Ces formules définissent une déformation infiniment petite du système des points P dans le système des points P< : les fonctions U, V, W définissant cette déformation (n° 683) sont ici

(20) u — udt, v — vdt, w = wdt.

D'après ce que nous avons vu dans l'étude d'une déformation infiniment petite, si l'on prend un clément fluide dm entourant le point P à l'instant t, cet élément, à l'instant ts = t -\- dt, prend une nouvelle forme et une nouvelle position dm{ entourant P1? et l'on peut passer de dm à dmt, en faisant subir à dm :

i° Une translation PPj ;

20 Une rotation élémentaire effectuée autour d'un axe Pco issu de P et obtenue en faisant tourner l'élément des angles infiniment petits

1 / »w Ov . 1 ,' Ou <)w 1 1 fàv du

J)l ~ 2 V^7 ~ àï) ' Pî = 2 [te -aï) ' Pi = 2 [aï ~ dj')

autour des parallèles aux axes issues de P;

3" Une déformation pure, composée de trois dilatations rectangulaires suivant les trois directions principales en P.

Dans le cas actuel, d'après les valeurs ( 20) de u, v, W, les

angles élémentaires de rotation pt, p2, p% sont

i pi-

1 / ôw

2 \ ôy

) dl,

ôz ] '

i / du

'i \ôz

ôw\ .

- ta) '"'

i / ôv 1 \ôx

du \

Comme ces diverses transformations, dont est composée la transformation totale, se font dans le temps dt, on peut dire que l'élément dm possède à l'instant t :

i° Une vitesse de translation égale à la grandeur PP4 de la translation divisée par dt, c'est-à-dire à W(w, p, w) ;

2° Une vitesse angulaire de rotation PQ dont les composantes suivant les axes sont les angles élémentaires de rotation pK , p>2,p3 divisés par dt, c'est-à-dire, d'après (21), les quantités

1 f ôw ôv\ 1 / du ôw"", 1 / ôv uvl \ 1 \ ôy ôz J 1 \ ôz ôx J 1 \ ôx

du\

ou encore £, r^ Ç;

3° Une vitesse de déformation caractérisée par trois vitesses de dilatation rectangulaires dirigées suivant les directions principales en P, et égales aux quotients des coefficients de dilatation principaux par dt\ nous ne calculerons pas actuellement ces dernières vitesses. ( Voir aux Exercices.)

Ces considérations justifient les noms de rotation moyenne au point P à L'instant t ou de vecteur tourbillon en P donnés au vecteur PQ de projections £, i\, Ç.

On peut remarquer, avec M. Boussinesq, que la rotation PQ est la rotation instantanée du tricdre trirectangle fluide formé par les directions principales en P; cela résulte de ce que la translation PP, et la rotation élémentaire de composantes/?!, p2, p$ ont pour effet d'amener les trois directions principales en P sur les trois directions principales en P< .

Nous appliquerons plus Join ces considérations au mouvement des fluides. Prenons encore, comme exemple élémentaire, le cas d'un corps solide en mouvement. Alors, le vecteur tourbillon en