CHAPITRE XXXIII. — CINÉMATIQUE DES MILIEUX CONTINUS

chaque point à V instant t est égal à la rotation instantanée du corps. Gela résulte de ce qu'un élément dm du corps à l'instant t peut être amené dans sa nouvelle position dmK à l'instant t -j- dt par une translation suivie d'une rotation égale à la rotation instanlanée. Analytiquement, les formules (18) qui donnent les projections sur les axes de la vitesse d'un point x, y, z d'un corps solide montrent également que le vecteur tourbillon (ç, r,, Ç) en chaque point est égal à la rotation instantanée (p, g, /•). On a, en effet, d'après ces formules,

àw

d'où

1 Idw

2 \ây

on trouve de même

dv dz

700. Définition mécanique du tourbillon en un point à un instant. — Soit un point P (x,y,z) à l'instant t : considérons la portion de matière contenue dans une sphère infiniment petite s de centre P et supposons qu'à l'instant t toute la matière extérieure à cette sphère soit anéantie et la matière intérieure brusquement solidifiée. Alors, la rotation instantanée initiale que prendra cette sphère solide sera précisément le tourbillon au point considéré. [Stores, On the friction of jluids in motion [Transactions of the Cambridge Philosophical Society, Vol. VIII).]

En effet, soient, avant la solidification, u, p, w les projections de la vitesse du point matériel placé en P (x, y, z) et ur: vf: w' celles de la vitesse d'un point 'infiniment voisin P' de coordonnées x -f- x', y -r- y' -, z -f- z' , les quantités infiniment petites x\ y\ s', Haut les coordonnées de P' par rapport à des axes Px', Py', Pz menés par P parallèlement aux axes lixes. On aura

st-à-dire, en développant parla formule de Tajdor et se bor- III. *9

Ou , Ou .

—- U ~ - X -+- - - r OX Oy '

<fc , dv , = V -f- .--.r H- — -j'

•Ar , ')(!' ,

nani aux termes du premier ordre

Soient, d'autre part, immédiatement après la solidification, lit, v{, wt les projections de la vitesse du centre P de la sphère solide s, p, q, r les composantes de la rotation instantanée de cette sphère; les projections u\, c,', w\ de la vitesse du point de cette sphère qui est en P' sont

| u\ — Mi -i- qz' — /•]', (23) < v\ — p, -+- r^r — pz' .

Au moment où la solidification a lieu, le milieu extérieur étant supprimé, des percussions se produisent entre les divers points matériels qui constituent la sphère. Mais ces percussions sont toutes intérieures à la sphère.

Or on sait que, si un système matériel subit des percussions intérieures, la somme des projections des quantités de mouvement sur un axe est la même après et avant la percussion, ainsi que la somme des moments des quantités de mouvement par rapport à un axe. Appliquons ces théorèmes à la sphère infiniment petite s en remarquant que cette sphère étant homogène et avanl pour densité la densité en P, on a, par raison de symétrie,

!Sma?' = Lmy' - I /» ;' = o, 2mi ' z' = ^ m z'x' = ^ mx'y' = <>, £ m .r'2 == X my"* = £ m z* = M k* ,

ces sommes étant étendues à tous les points matériels P; de masse m qui forment la sphère, etM désignant la masse totale I,rn de cette sphère.

D'abord, en écrivant que la somme des projections des quantités de mouvement sur Taxe des x est la même après et avant la

solidification, on a

S mu. = S/?? u',