CHAPITRE XXXIII. — CINEMATIQUE DES MILIEUX CONTINUS. 29 1 OU

11 tSm -l- « S mz — . . . = u'Lm H — —S mx -+-...,

c'est-à-dire, d'après (24),

On Irouve de même

Ainsi la vitesse du point P, centre de la sphère, ne change pas.

Ecrivons ensuite que la somme des moments des quantités de mouvement reste la même par rapport à l'axe Vx'\ nous aurons

ou, d'après les expressions (22) et (23),

Wy S my' — Cj 2 mz' -h pzZ m(y'2 -+- z'2 ) — . . .

div . dv ,

= wZmy — vZmz -h -r— S /«.y 2 — 2 mz ~ -+-... ;

^ dy Oz

en vertu des relations (24), cette équation se réduit à

,/.2„/2^ MdV

d'où

[ / dw dv

on trouverait de même

1 [du dw

■>. \ dz àx

^ 1 f dv du\ 2 \dx dy J

La rotation instantanée de la sphère, immédiatement après la solidification, est donc égale au tourbillon au point P.

707. Lignes de tourbillon. — A un instant déterminé /, les tourbillons Ù forment un champ de vecteurs déterminé dans toule l'étendue du fluide en mouvement : on appelle lignes de tourbillon à l'instant t les lignes de vecteurs de ce champ, c'està-dire les lignes telles que la tangente en chacun de leurs points coïncide avec le tourbillon en ce point.

Les équations différentielles des lignes de tourbillon à l'instant/

sont donc

(.5) dx^dy^dz

^ fl S

où Ç, rn Ç sont les quantités (19), £ aj'ant une valeur déterminée. L'intégration de ces équations donne les équations des lignes de tourbillon sous forme finie

avec deux constantes arbitraires C^ et C2. Ces équations contiennent la lettre t, qui figure dans les équations différentielles (25), mais qui y est traitée comme une constante : quand on fait varier £, les lignes de tourbillon changent.

Par exemple, dans un corps solide en mouvement, les lignes de tourbillon à l'instant t sont les droites parallèles à l'axe instantané : cela résulte de ce que tous les vecteurs tourbillons sont parallèles à cet axe.

Lorsque le mouvement est permanent, a, c, w et, par suite, ç, 7), Ç sont indépendants du temps ; dans ce cas, les lignes de tourbillon ne varient pas avec t.

708. Potentiel des vitesses; mouvement irrotationnel ou non tourbillonnaire. — Portons notre attention sur une portion continue du milieu matériel en mouvement. A un instant £, les vitesses W des divers points de cette portion du milieu forment un champ continu de vecteurs : on dit qu'il existe à l'instant t, pour cette portion du milieu, un potentiel des vitesses, ou une Jonction des vitesses quand ce champ de vecteurs dérive d'une fonction. Analyliquement, il existe, à l'instant /, un potentiel des vitesses quand on a identiquement à cet instant

dz, ûq dv

âx ay Oz

ce étant une fonction de x, r, z pour tous les points considérés. Cette propriété est spéciale à un instant : il peut se faire qu'elle ait lieu à un instant t sans avoir lieu après ou avant. Pour que cette circonstance se présente à un instant /, il faut et il suffit