CHAPITRE XXXIII. — CINÉMATIQUE DES MILIEUX CONTINUS
qu'à cet instant
( 26 ) u dx h- v dy -+- w dz
soit une différentielle exacte dans la portion considérée du milieu, c'est-à dire que la rotation moyenne Û de projections ç, ij, Ç soit nulle à cet instant en tous les points de cette partie du milieu continu. Cela tient à ce que les conditions pour que 1 expression (26) soit différentielle totale sont précisément
dw
dv
dy
dz
Il existe des cas étendus, comme nous le verrons plus loin, où il va, pour une portion déterminée du milieu, un potentiel des vitesses à chaque instant pendant toute la durée du mouvement. Dans ce cas, la rotation moyenne Û, de projections ç, r,, Ç, est nulle, quel que soit t\ on dit que le mouvement de la portion considérée du milieu est irrotationnel (*) ou non tourbillonnaire. Les composantes «, p, w sont alors, à chaque instant £, les dérivées partielles par rapport à x, y, z d'une fonction co(.r, r, z, t) qui con lient en général le temps : quand le mouvement irrotationnel est permanent, u, c, <v, étant indépendants du temps, pourront être considérés comme les dérivées partielles d'une fonction v(x,y,z)i également indépendante de t.
A chaque instant t, la vitesse W en un point P est normale à
la surface équipotentielle
cp = const.
dirigée par rapport à cette surface du côté où cp croît et égale à - ' 1 la dérivée étant prise suivant la normale à la surface équipotentielle.
709. Flux à travers une surface dans le cas d'un potentiel de vitesses. — Quand les vitesses W dérivent d'un potentiel cp, la composante
OLU -f- ,3 V h- y w
(') Nous empruntons rette expression aux excellents Traités de Basset (Cambridge, 1888 et 1890).
'2g4 ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.
de la vitesse d'un élément situé en P, suivant une droite PD de cosinus directeurs a, [3, y, est égale à la dérivée de <p prise suivant PD (Chap. IV). En particulier, si l'on prend un élément superficiel d<7 placé en P et la normale PJN à cet élément dans un certain sens, la composante W„ de la vitesse suivant PN est la dérivée -y-deo suivant cette normale, et le flux de matière à travers an ' '
cet élément pendant le temps dt est
p —- dadt.
1 an
Le flux dM, à travers une surface S pendant le même temps, est
Équation de continuité. — Si m, r, sv sont les dérivées partielles d'une fonction co(#,jr,3, t) par rapporta x, y, 2, l'équalion de continuité (10) s'écrit
do /d*cD d*v d*y\
de P \ dx* dyï dz* )
ou, d'après la notation déjà employée dans la théorie de l'attraction,
y ~ ~dx* ~ ~dy* ~" ~dz* ' (-27) -+pAcp = o.
Si le milieu en mouvement est un liquide incompressible à température constante, p est constant et l'équation de continuité s'écrit
(28) Acp = o.
710. Flux et circulation le long dune courbe donnée à l'instant t. — Etant tracée dans le milieu à l'inslant t une courbe C d'extrémités A et B, on appelle flux le long de cette courbe l'intégrale
/ (u dx 4- v dy + w dz ) , ' 1 4 1
