CHAPITRE XXXIII. — CINÉMATIQUE DES MILIEUX CONTINUS. 2g
prise le long de la courbe, ou encore l'intégrale
/ W ds co
sW,é,
prise le long de la courbe. Dans le calcul de celle intégrale, l a une valeur constante, correspondant à l'instant considéré. Cette intégrale est analogue à un travail : ce serait le travail d'une force fictive W de projections u, p, w agissant sur un point matériel (iclif qui suivrait la courbe d'une extrémité A à l'autre B. Quand, à l'instant t, il existe un potentiel f des vitesses, celte intégrale est
! do = 0|{ — cpA.
csB et cpA désignant les valeurs de co aux deux points A et B. On peut répéter sur cette intégrale tout ce qu'on a dit du travail dans le cas où il existe une fonelion des forces uniforme ou non.
Si les points A et B coïncident, l'intégrale donne la circulation le long de la courbe fermée C. Deux cas sont à distinguer : i" si la fonelion cp, suivie par conlinuité, n'a qu'une valeur en chaque point du fluide, la circulation Je long d'une courbe fermée quelconque est nulle, car A coïncidant avec B, on a cpA = cpI{ ; 20 si la fonction cp est à déterminations multiples, la valeur de la circulation le long d'une courbe fermée dépend de la position de la courbe : elle peut être nulle pour certaines courbes, différente de zéro pour d'autres.
Dans le premier cas le mouvement irrotationnel est dit acycllque; dans le deuxième, il est cyclique.
711. Un liquide incompressible ne peut pas prendre un mouvement irrotationnel acyclique dans un vase fixe et complètement clos qu'il remplit entièrement. — En effet, si un pareil mouvement existait, le potentiel cp des vitesses devrait, à l'intérieur du vase S, vérifier l'équation de Laplace (équation de conlinuité)
Acp = o; il devrait, en lous les points de la surface S du vase, vérifier la
ajg6 ÉQUILIBRE E T M 0 U V E M E N T I) E S M [LIEUX CONTINUS.
condilion
do
au
la dérivée étant prise suivant la normale à cette surface; cela résulte de ce que le flux à travers un élément quelconque de la surface du vase est évidemment nul. En outre op serait uniforme.
Mais nous avons vu, dans le Chapitre XXIX, n" o9i, que, si ces conditions sont remplies, o est constant dant tout l'intérieur de la surface S ; on a donc alors
do do do
Ox ùy - ' ds
et le liquide est immobile.
Dans les mêmes conditions, il peut exister un mouvement cyclique : par exemple, dans un tore de révolution autour de Os, un liquide peut prendre un mouvement irrotationnel dans lequel
o = arc tang — • Dans ce mouvement, la circulation le long d'une
Ou
courbe fermée entourant une fois Oz serait 2tî.
III. SUR LA PROPAGATION DES ONDES; DISCONTINUITES DANS LE MOUVEMENT DES FLUIDES.
712. Indications bibliographiques. — Nous nous proposons d'exposer, dans ce paragraphe, la théorie de la propagation des ondes à laquelle s'attache le nom de Hugoniot. Ce savant a, le premier, défini et étudié la propagation d'un mouvement dans un autre, et cela non seulement pour les mouvements infiniment petits, mais pour les mouvements d'amplitude quelconque. Il a, le premier, introduit explicitement la notion de compatibilité de deux mouvements, et en a même donné une définition précise pour le cas du mouvement rectiligne. Dans le cas du mouvement à trois dimensions, au contraire, cette notion est beaucoup moins complètement dégagée; aussi l'auteur se place-t-il dès l'abord dans l'hypothèse où il j a compatibilité, sans rechercher les conditions pour qu'il en soitainsi.(Voir Comptes rendus, t. CI, 1 885 ; Journal de U Ecole Polytechnique, Cahiers VII et VIII, 1887; et Journal de Mathématiques pures et appliquées, 4e série,
