CHAPITRE XXXIII. — CINÉMATIQUE DES MILIEUX CONTINUS

t. [II et IV. Voir aussi Duhem, Hydrodynamique, Elasticité, Acoustique; 1891 .)

A la vérité, l'origine de cette théorie doit être cherchée un peu plus haut; il faut, semble-t-il, la faire remonter à deux Mémoires de M. Christoffel, insérés aux Annali di Matematica ('), et dans lesquels l'auteur prend pour point de départ le Mémoire de Riemann : Ueber die Fortpflanzung ebener Luftwellen von endlic/ier Scluvingutigsweite. Cette circonstance se trouve, en l'espèce, avoir un inconvénient : M. Christofïel s'attache, en effet, aux ondes de choc, dont l'existence a été découverte par Riemann. Or celles-ci constituent un cas singulier dont l'étude doit logiquement suivre et non précéder celle des ondes d'accélération. En raison même de la difficulté particulière offerte par le cas qu'il traite, l'auteur est conduit à se limiter aux discontinuités infiniment petites, ce qui diminue la portée de son analyse. Par contre, M. Christoffel se préoccupe de la signification géométrique des résultais, laquelle a élé laissée de côté par Hugoniot. Mais une notion fondamentale appartient à ce dernier : c'est celle de compatibilité, dont la nécessité ne parait pas avoir été aperçue par M. Christoffel (2). Seulement Hugoniot s'était borné, pour étudier les conditions complètes de compatibilité, au cas des ondes planes.

C'est à M. Hadamard que l'on doit l'extension de ces résultats au mouvement à trois dimensions; dans le Cours que M. Hadamard a professé au Collège de France, en 1898-1899 et 1899-1900, il a nettement séparé les faits d'ordre dynamique des faits d'origine cinématique. Ce sont ces derniers que nous exposons ici : nous montrerons comment M. Hadamard a établi les conditions de compatibilité et en a donné une interprétation géométrique remarquable. Les recherches de M. Hadamard sont résumées dans une Note Sur la propagation des ondes, insérée dans le Bulletin de la Société mathématique (icl fascicule 1901); elles seront développées dans un Ouvrage qui paraîtra prochainement.

(» ) 2e série, t. VIII; 1877.

(-) Notice sur les travaux scientifiques de M. Hadamard, p. ij et \\ ; 1901. ( Gauthier-Villars. )

298 É Q U I LI B II E E T M 0 l. V E M E N T I) E S M 1 L I E V X C 0 N T IN U S.

713. Discontinuités des divers ordres. — Jusqu'à présent, nous avons supposé que les coordonnées os, y, z d'un élément matériel du milieu à l'instant / élaient, ainsi que leurs dérivées premières et deuxièmes, des fonctions continues des coordonnées initiales a, b, c et du temps t. Nous continuerons à supposer que x,y, z sont des fonctions continues de a, 6, c, /, mais nous admettrons que certaines de leurs dérivées, tout en restant finies, sont discontinues dans les conditions suivantes :

Imaginons qu'à l'instant t il existe, dans le milieu continu en mouvement, une surface S divisant le milieu en deux régions que nous appellerons les régions 1 et 2. Nous supposons : i" que, dans chacune des régions 1 et 2, les coordonnées x, y, z soient des fonctions continues, tant des coordonnées initiales a, b, c que du temps t, et qu'il en est de même de leurs dérivées jusqu'à un ordre déterminé /t ; 2° que, au contraire, lorsqu'on traverse S, lune au moins des dérivées d'ordre n éprouve une variation brusque, toutes les dérivées d'ordre inférieur à n restant d'ailleurs continues.

Nous dirons alors que la surface S est une surface de discontinuité de Y ordre n.

Dans cette définition, il est entendu qu'on appelle ordre d'une dérivée quelconque Y ordre total de dérivation par rapport à #, />, cet t indistinctement. Nous nommerons, par exemple, dérivées du second ordre les dérivées des trois catégories suivantes :

i° Dérivées du second ordre par rapport à «, b, c.

ôa-

Oa Oh

•i° Dérivées du premier ordre par rapport à #, b ou c et du premier ordre par rapport à t ,

0 (dx\

à (dz\

3" Dérivées du second ordre par rapport à t,

at-

~dt*

(la première catégorie comprenant 18 dérivées, la seconde 9, la troisième 3 seulement).