CHAPITRE XXXIII. — CINÉMATIQUE DUS MILIEUX CONTINUS
D'une manière générale, les dérivées d'ordre n se distribueront en /1 + 1 catégories analogues aux précédentes.
Cette surface S change de forme et de position avec le temps, non seulement dans l'espace absolu, mais aussi dans le fluide, de sorte que ce sont, à chaque inslant, de nouvelles particules fluides qui se trouvent sur la surface de discontinuité S; l'équation de cette surface est donc de la forme
( S) Vx(x,y,z, t) = 0.
Soient a, 6, c les coordonnées initiales des particules qui, à l'instant t, se trouvent sur la surface de discontinuité S ; ces particules forment, dans le milieu initiai, une surface S0 dont l'équation
(So)
dépend aussi du temps, car ce sont à chaque instant de nouvelles particules qui se trouvent sur S et, par suite, sur S0-
Ces deux surfaces se correspondent point par pointa l'instant t ; en outre, S0 divise l'ensemble des particules dans leurs positions initiales en deux régions 1 et 2 qui correspondent point par point aux deux régions dans lesquelles S divise l'ensemble des particules dans leurs positions à I instant t.
A l'instant initial, .r, y, z sont identiques à a, 6, c, les deux surfaces se confondent, F, (#, y, z, t) devient identique à F («, 6, c, t).
714. Vitesse de propagation de l'onde. — La surface de discontinuité S forme une onde qui se propage en chacun de ses
tant t
continuité o forme une onde qui se propage en chacun d points, à chaque instant, avec une certaine vitesse.
Prenons un point P(.r,y, s), sur la surface S, à l'inst;
( fiig. 3^7) ; menons, en ce point, la normale PN à S, et appelons ^ ' (x '1 y ' 1 z') Ie point où cette normale rencontre la position S' de
3oo
la surface à l'instant infiniment voisin t -h dt\ désignons par dn le segment de normale PPr : la vitesse de propagation G de l'onde, au point P, à l'instant t, est égale, en grandeur et direction, au segment PP; divisé par dt
dn ~dt
Il est aisé d'évaluer cette vitesse, connaissant l'équation de la surface S. En appelant a,, (3,, y< les cosinus directeurs de la normale en P à la surface
FiO,.7> z> 0 = °>
k Ox
71 ~ k~dz~
dx J r ' \dy / \ di
Les coordonnées du point P' sont alors
x' = x -h a.! d/i, y' = y -t- ^ du, z' = z H- yi ûfo3
et, en écrivant que ce point est sur la surface de l'onde à l'instant
t-h dt,
F, (a?', /, z', t-+-dt) = o,
on a
F! (.r -h ai <t?/ï, ./H- ^i flfa, -s -H Yi <^; t -+- dt) = o.
Développons par la formule de Taylor, en remarquant que F| (a?, y, £, 0 est nul, et conservons, dans le développement, les seuls termes du premier ordre; nous aurons
<)F, , dF, . OFy r)F, .
— - — aj a/* H — pt t//i H — Yi <;//*. -\ - — dt = o ;
or o/ oz ' a£
d'après les valeurs de a, , p)?y,,A-, on tire delà, pour la vitesse G, l'expression
k àt
On a ainsi la valeur de la vitesse : sa direction et son sens sont déterminés par la direction et le sens du segment PP'.
