CHAPITRE XXXIII. — CINEMATIQUE DES MILIEUX CONTINUS. 3oi
En particulier, à l'instant initial, x,y, z deviennent a, 6, c, F, devient F, et la vitesse de propagation est
i ÔF
h dl
en posant
da ) \àb ) \ôc
715. Conditions de compatibilité. — L'existence même, à un instant t, d'une discontinuité affectant la forme d'une surface, entraîne certaines relations qu'on peut appeler, avec M. Hadamard, conditions identiques ; le fait que cette discontinuité persiste, quand t varie, sous la forme d'une surface unique, entraîne d'autres conditions qui sont les conditions cinématiques de compatibilité. Nous allons établir ces conditions pour les discontinuités du premier et du deuxième ordre.
Nous aurons à nous appuyer sur la remarque suivante : Si une fonction des coordonnées est définie cVun coté d' 'une surface et sur la surface, on peut lui applique/% sur la su rface, les règles de dérivation des fonctions composées.
716. Discontinuité du premier ordre. — Soit S la surface de discontinuité à l'instant £ : les particules qui sont sur cette surface se trouvaient, à l'instant initial, sur la surface correspondante
Par hypothèse, #, y] z sont des fonctions continues de a, b, c,t,
. , , i / • / • , il dx dx dx dx , .
mais les douze dérivées premières telles que — ? -, — > -y- subis-
1 l oa ob oc ctt
sent des variations brusques quand le point a, 6, c traverse la
surface S0 de la région 1 à la région 2 ou, ce qui revient au même,
quand le point correspondant x, y, z traverse S de la région 1 à
la région 2.
Pour désigner ces variations brusques nous emploierons la no-
l;ilion suivante. Si une fonction cp prend à l'instant t la valeur ©,
en un point de la région 1 infiniment voisin de la surface de
discontinuité et la valeur cp2 ai1 point de la région 2 infiniment
voisin du premier, nous poserons
oco = o.,
Si <p2 et <pi sont continus et admettent des dérivées dans les milieux 1 et 2, ocp regardé comme fonclion de a1 &, c sera continu sur la surface S0 et pourra être dilférentié sur cette surface.
Remarquons, au sujet de ces dilférentiations, que l'on u identiquement
en effet, le premier membre est égal à ■—■ Li5 et le deuxième a
la même signification.
Conditions identiques. — Par hypothèse, à l'instant /, l'al>scisse x est une fonction de a, b, c continue quand on traverse la surface S0 : on a donc, le long de cette surface,
La différentielle lolale de ox le long de la surface S0, dans la position qu'elle occupe à l'instant £, est donc nulle, et l'on a, en
rems
rq liant
que
Ô ÙX
àa
àx
Oa
ôa
<).r A dx
—r au -{- o — de = o,
pour tous les déplacements <:/a, <r/6, <ic effectués sur Sn, c'est-à-dire vérifiant la condition
dF i "V ii dF i
(5) . — aa h du -+- — (te = o.
v ; da ôb de
Les deux relations (4) et (5) devant être vérifiées pour les mêmes valeurs de da, dby de les coefficients de ces quantités, dans les deux équations, doivent être proportionnels.
Géométriquement, cela revient à dire que le vecteur ayant pour
projections S -j S ~, o — est normal à la surface S0. Appelons a, [j, y les cosinus directeurs de cette normale; on aura, en
