Àa, 0 — = Àp, 0 — = Av

t)a d/> ' ' Oc

ou

g <te À r)F ? dx X dF ? dx X dF

On trouve, de même, en désignant par a et v deux autres facteurs,

/ ^ à y [x dF ^ dv \j. dF ^ Oy ;jl dF

da h da Ob h Ob de h àc

A dz v dF ^ dz v dF *, dz v àF

àa li Oa db h Ob de h de

D'après cela, il suffirait en chaque point de S0 de connaître les trois quantités X, u., v, ou le vecteur ayant pour projections ),, <j., v, pour connaître les variations des neuf dérivées partielles de x, y, z par rapport à a, /?, e.

Conditions cinématiques de compatibilité. — Les relations précédentes s'appliquent à un inslant déterminé /; si maintenant on admet que, t variant., cette discontinuité se propage, en n'affectant jamais que les points d'une surface unique variable avec t. on obtiendra de nouvelles conditions.

Les valeurs xK et x2 de x en deux points «, b, c infiniment voisins l'un de l'autre, placés de part et d'autre de la surface S0, restent égales, par hypothèse, quand t varie; cela veut dire, analytiquement, que l'on a

pour toutes les valeurs de a, b, c, t vérifiant la relation

3o/| ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.

Si donc on fait varier a, b, c, t de da, db. de, dt, ces accroissements étant assujettis à la seule condition de laisser la fonction F nulle,

d¥ . d¥ „ OY , ôY .

( 8 ) -t— aa — =- db -'- : - de h dt = o,

da Ob de 0!

on devra avoir aussi c'est-à-dire

à ox ' d o.r d o.r , d ox .

— — cmr H --. db -+- -- — de -h — ; — dt == o,

c'a dA» de a/

ou

j, do? * do? „ d.r . ^ d.r

(o) o — aa + o — <:/£ -+- o — «c -h o — r dt = o.

J' da d/; dr <://

Dans cette dernière équation, pour nous conformer aux conventions faites plus haut pour les dérivées partielles, nous dési-

Cl 0 X (> (XX îi/'f • 1 1 1 <"* >

gnons par — ou ô -~ Ja dérivée partielle de ox par rapport a £,

prise en regardant a, b, c comme constants.

Les deux relations (8) et (9) devant être vérifiées par les mêmes valeurs de da, db, de, dt, les coefficients de ces quantités, dans les deux relations, doivent être proportionnels. Il faudra donc joindre, aux conditions (7) déjà écrites, la suivante :

, dx X ôY ( 10 1 0 — - = • ■ — -•

dt h 01

On peut appliquer le même raisonnement ïi y et z, et l'on trouve à cùté des conditions (7)' les deux suivantes :

* d)- u. ôY „ dz v OY

7 c& A d/ r// h dt

Pour que ces nouvelles équations soient compatibles avec les précédentes, il faut que le vecteur ),, jj., v précédemment défini et

le vecteur 0— > 0 -, ? b — aient même direction. Ce dernier

<:/£ dt dt

vecteur représente la variation géométrique de la vitesse d'un élément quand on traverse la surface : en efl'et, les projections u, v,

clic d Y cl ~ \r de la vitesse d'un élément sont -, ■> -,-, .-: on a donc

dt dt dt '

^ dz

= oç.