CHAPITRE XXXIII. — CINÉMATIQUE DES MILIEUX CONTINUS. 3o

Le rapport des longueurs des deux vecteurs est égal à y- — ;

on peut toujours supposer que l'instant considéré a été pris pour instant initial, on a alors pour expression de ce rapport la quantité G définie au n° 714, comme étant la vitesse de propagation de l'onde.

La direction commune de ces deux vecteurs s'appelle la direction de la discontinuité : la discontinuité du premier ordre sera appelée longitudinale ou transversale, suivant que cette direction est normale ou tangente à la surface de l'onde S.

Si les deux vecteurs (X, [/., v), (ou, Se, hw) n'avaient pas la même direction, la propagation d'une discontinuité unique du premier ordre serait cinématiquement impossible : la discontinuité, à partir de l'instant considéré, cesserait alors d'affecter une surface unique et devrait, pour le moins, se dédoubler en deux discontinuités distinctes.

En général, au coursd'un mouvement déterminé, les conditions de compatibilité seront évidemment vérifiées, car il ne peut y avoir constamment dédoublement de la discontinuité : on aurait alors, non des discontinuités isolées, mais des tranches de discontinuité, ce que nous ne supposons pas.

En résumé, une discontinuité du premier ordre est caractérisée, en chacun de ses points à chaque instant, par un vecteur X, m, v et par un nombre G qui est la vitesse de propagation.

717. Variation de densité dans une discontinuité du premier ordre. — Il existe une relation simple entre le saut de vitesse normale, le saut de densité en un point de la surface S et la vitesse de propagation G de la discontinuité en ce point. Pour l'obtenir, considérons une position S de la surface à l'instant t, et la position S' de la surface à l'instant t -f- dt : puis construisons (ftg> ^27) le cylindre droit ayant pour base un élément d<7 de S et limité à S'. La hauteur PP' de ce cylindre est G dt, d'après la définition, même de la vitesse de propagation G (n° 714); son volume est

Gdtd<7.

Nous allons évaluer de deux façons la variation que subit pen-, dant le temps dt la masse totale de matière contenue dans ce cylindre :

i° Appelons p, la densité au-dessous de S et o2 au-dessus, III. 20

3o6 ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.

dans le voisinage immédiat de S. A l'instant t, la matière qui remplit le cylindre a pour densité p2, sa masse est p2Gdtdy; à l'instant t + dt, la matière qui remplit le cylindre a pour densité p, , car, la discontinuité étant venue en S', le cylindre est au-dessous de S'; la masse contenue dans le cylindre est donc p^Gdtd<r. D'où une première expression de la variation de masse

Ci t) (pi — p2)G dt di.

2° Appelons W, la vitesse des particules fluides au-dessous de S, et W2 la vitesse au-dessus, dans le voisinage immédiat de S. La variation de la masse contenue dans le cylindre est égale à l'excès des masses entrées sur les masses sorties dans le temps dt. Appelons "Win et W2/i les projections de Wfl et W2 sur la normale PP' à la surface S et WU) W2f leurs projections sur le plan tangent à S : ce sont les vitesses normales et tangentielles des particules sur les deux côtés de la discontinuité.

Pour évaluer les masses liquides entrant dans le cylindre ou en sortant par la surface latérale, il faut tenir compte de la vitesse tangentielle ; pour évaluer les masses traversant les bases, il faut, au contraire, tenir compte de la vitesse normale. Les vitesses tangentielles, à chaque instant, diffèrent infiniment peu les unes des autres sur une même section droite du cylindre; la masse liquide qui entre par la surface latérale est donc égale à celle qui sort par cette surface. Mais il n'en est pas de même pour les bases ; par la base inférieure il entre, pendant le temps dt, une masse liquide p, W4« dtd<j; par la base supérieure il sort, pendant le même temps, une masse liquide p2W2ndtd<7. En effet, pendant que la discontinuité se transporte de S en S', le cylindre restant immobile, la base inférieure du cylindre est plongée dans le milieu 1 et la supérieure dans le milieu 2. On a donc une seconde expression de la variation de la masse contenue dans le cylindre

(ta) (piWi*— p2W2n)dtd<j.

Egalant ces deux expressions, on a

03) G(Pi — Pi) = pi Wi„ — p2 Wa»,

p2(G-W2„) = pi(G- W,„).

On peut dire que G — W2n est la vitesse de propagation G2 de