CHAPITRE XXXIII. — CINÉMATIQUE DES MILIEUX CONTINUS
la discontinuité par rapport au milieu 2, et que G — W</? est la vitesse de propagation G4 par rapport au milieu 1 : la relation
s'écrit alors
P2G9 = pi Gi.
Cas d'un fluide incompressible. — Si le milieu matériel est un fluide incompressible, on a p2 = p<, et la relation (i3) montre que l'on a aussi
Donc, dans un fluide incompressible, la variation brusque de vitesse affecte seulement la composante tangentieile; la composante normale ne subit pas de saut brusque. Ce fait paraît d'ailleurs évident : si, dans un fluide incompressible, il se produisait un saut brusque de vitesse normale, les éléments fluides primitivement en contact se sépareraient.
Inversement, si la discontinuité est tangentieile, c'est-à-dire si Wan — W|fl est nul, la densité ne varie pas d'un côté à l'autre de S ; on a p2 = o, .
718. Discontinuités du deuxième ordre. — Supposons maintetenant que les dérivées premières de a?, y, z par rapport à a, Z>, c, t soient continues quand on traverse la surface S formée, à l'instant £, par les molécules qui, à l'instant initial, étaient sur la
surface
Alors, en employant la même notation que plus haut, on a
s àx ^ dx ^dx
04) ° "T- = °> ô TT = °J Ô— =0,
àa db ôc
(.5) °rf7=°>
avec des conditions analogues pour y et z.
Conditions identiques. — Donnons à t une valeur numérique;
comme les quantités 0 -—> • • • sont nulles tout le long de S, leurs
différentielles totales prises le long de S sont nulles. Donc, en désignant par da, db, de un déplacement arbitraire sur S, on a, par
3o8 ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.
différentiation totale des relations (14)1
o — — - da -f- o - — rr db -^ o - — — de = o , l aa2 c'a db da oc
(io) / o- — -da-ho — — du ~+- o de — o,
oa ou ou2 ou Oc
I ft d22? d^tt «^
o - — - da -f- o w , du H- o -r— - ac = o. \ oa oc ou oc oc1
Nous écrivons ces relations en nous appuyant sur ce que
^ dx\ ^d^x d f^dx\ ^ d2x
da \ da J da2 db \ da ) da db
Chacune de ces relations (16) devant avoir lieu pour tous les déplacements da, db, de vérifiant la condition
dF dF dF
(il) — da -h — -y db -+- — de = o ,
da db de
les coefficients deda, db, de dans chacune des trois relations (16)
dF dF dF . <n d2 x
doivent être proportionnels à-r-j -r-.-> En écrivant que o — — - •»
11 da db de l da2
* d2x * d2x , , dF dF dF , . ,. , . c
? o -r — r- sont eeaux a -r-? -r^-> -r- multiplies par le lacteur
da d£> c^a de & da db de
~) dF
de proportionnalité— v-i on voit que les coefficients des deux
autres relations (16) sont égaux à ces mêmes quantités multipliées
X dF X dF ,, , , .
respectivement par tt tt- et -7- — » et 1 on a les relations
1 x /i2 db h2 de
x fdFy
x /dFy
da2
Tt2 \da~J '
°dbï
de2
= 7T2 \ ~dc~) '
X dF dF
dF dF
X dF dF
db de
h2 db de '
de da
de da
" da d6
h2 da db
On trouve, pour la variation brusque des dérivées secondes dejK et z par rapport à a, b, c, des expressions analogues dans lesquelles le facteur ), serait remplacé par p., puis par y,
, d2v \x l'ùFy ^ d2y u. dF dF
da2 h2 \da ) db de h2 db de
d2z v /dF\2 , d2z v dF dF
dô2 : = h2 \dâ) ' ° dbdc =~ 7Ï2 d~b de '
