CHAPITRE XXIX. — ATTRACTION. POTENTIEL. 3l

guration est donc le travail total que produiraient les forces attractives, si les points, d'abord infiniment éloignés les uns des autres, étaient amenés à la configuration considérée.

On peut dire aussi que cette énergie potentielle est le travail des forces extérieures qu'il faudrait faire agir sur le système de points, dans la configuration considérée, pour séparer ces points et les amener, au repos, à des distances infinies les uns des autres.

Autre expression de l 'énergie potentielle. — La fonction

peut être écrite comme il suit

' i / m2 m-i ma

V = - mx

2 \rl,ï ;,1,3 rl,n

i / mi m$ mn

a \rB1 ri3 r2n

i / nii m. y m a— i

-•ni,

où /"y i = t'ij. Dans cette expression, le coefficient de m{ est la somme des quotients des masses autres que /?z, , par leurs distances à m,; celui de /h2, la somme des quotients des masses autres que m2 par leurs distances à m2, etc. On peut remarquer que cette expression de V résulte aussi du théorème des fonctions homogènes appliqué à V considérée comme fonction de mt , m2, ...^mn. Soient alors U, la valeur du potentiel des masses m2, /tz3, ..., mn au point m{1 U2 celle du potentiel des masses m^ /n3, . . ., mn au point m2, etc., U/ la valeur du potentiel de toutes les masses excepté mi au point m^ on peut écrire

V = -(wiUi+ m2U2 + . • .-l- /w«U„), ou

o54. Flux de force. — Prenons d'abord un élément de surface infiniment petit dd placé au point P et menons la normale PN à cet élément dans un sens déterminé : pour distinguer les deux faces de cet élément, nous appellerons/ace positive celle qui porte

3i ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.

la normale PN et face négative l'autre face. Soient K la force du champ au point P, 0 l'angle de celte force avec PN, et K7/ la projection de cette force sur PN. D'après une définition déjà donnée (n° 535), on appelle flux de force à travers l'élément dd dans le

sens PN la quantité

Kcose^ = Kndï.

Soit U le potentiel en P, on sait que la composante K„ suivant

PN a pour valeur f-r-> la dérivée étant prise normalement à

l'élément dans le sens PN; le flux de force élémentaire à travers dd a donc aussi pour expression

Ce flux est positif ou négatif suivant que 9 est aigu ou obtus, ou, ce qui revient au même, suivant que U croît ou décroît pour un déplacement effectué dans le sens PN.

Si la force K est la résultante de plusieurs autres, K', K", . . . le flux de force dû àK à travers dd est la somme des flux de force dus aux composantes K', K", .... Cela résulte de ce que, en projetant sur PN, on a

k — K' ' -i- K" -4i\n — rv/? -t- is.n -t- . . . .

Flux de force à travers une surface d'étendue finie. — Le flux de force à travers une portion de surface S, dans un certain sens, est la somme des flux de forces à travers les divers éléments superficiels dd de cette surface. Il a donc pour expression

ff%*™**<=ff***r*fffjg*,

l'intégration étant étendue à la surface S. ^

Interprétation du flux de force. — Imaginons un liquide à l'état de régime permanent remplissant l'espace considéré, et supposons que chaque molécule liquide, en arrivant au point géométrique P, y possède une vitesse égale à K en grandeur, direction et sens. Les vitesses des diverses molécules liquides sont ainsi représentées par les mêmes vecteurs que les forces du champ : les trajectoires des molécules liquides sont les lignes de forces. Prenons un élément superficiel dd fixe placé en P. Nous allons montrer