CHAPITRE XXIX. — ATTRACTION. POTENTIEL
que le volume du liquide traversant l'élément dd, dans le sens PN pendant V unité de temps, est égal précisément à K„ dd, c est-à-dire au flux de force à travers dd. En effet, considérons
Fier. 285.
do
les molécules liquides placées à l'instant t sur dd : à l'instant t -(- dt, chacune d'elles se sera avancée de K dt dans la direction K : les molécules ayant traversé dd dans le temps dt forment donc un cylindre oblique de base dd et d'arête K dt] la hauteur de ce cylindre est K„ dt et son volume K„ dd dt. Le volume de liquide traversant dd dans l'unité de temps est donc bien Krt dd.
D'après cela, le flux de force à travers une surface d'étendue finie est égal au volume du liquide traversant cette surface pendant l'unité de temps.
ooo. Expression du flux de force dans le cas où le champ provient de l'attraction d'un seul point. — Supposons qu'il n'existe qu'un centre attractif de masse m; la force K agissant sur l'unité
de masse placée en P est alors dirigée suivant P m et égale à/—)
/■ désignant la distance P m ; le potentiel est
les surfaces de niveau sont des sphères de centre m et les tubes de forces, des cônes de sommet m.
i° Flux de force élémentaire. — Soit dd un élément superficiel placé en P, PN la normale à cet élément et Q l'angle mPN que fait la force K avec cette normale; le flux de force à travers
dd Jans le sens PN est
/— cosO d* = /;>- dd =fm — dl,
du
du
la dérivée étant prise dans Je sens PN (fi g* 286).
Considérons le cône de sommel m et de base dd : soit dtù Ton
Fier. 286.
nxs
verture de ce cône égale par définition à l'aire de sa trace sur une
surface sphérique de centre m et de rayon 1; soit dto' l'aire de la
trace du même cône sur une sphère de centre m et de rayon
mV = r. Supposons d'abord 0 aigu : l'angle du plan de dd avec celui
de diù' est 0 et l'on a
do)' — do1 cosô,
car d(ji' peut être regardé comme la projection de dd sur le plan tangent à a sphère de centre m et de rayon mP= /•. D'ailleurs
do)
doj' d3 cos6
On a donc, pour le flux de force à travers dd,
flux —fm dto.
Si nous supposons, au contraire, 9 obtus, l'angle aigu du plan de dd avec celui de c/oj' est - — Q et l'on a
dto' = — do1 cosO,
doi' do1 cosO
do.
L'expression du flux est alors
flux = — fin du,
