CHAPITRE XXXIII. — CINÉMATIQUE DES MILIEUX CONTINUS, oïl

Prenons maintenant la relation

ou = o,

et différentions-la totalement en y faisant varier a, 6, c, t sous la condition F (a, 6, c, £) = o. Nous aurons

^ du j ^ du jj <)m , a û?m

v da d6 de a£

sous la condition

OF , dF „ dF . ⥠,

— - aa -h —7- a£> h — — <ic -f- -rr «£ = o.

da ew oc at

Les coefficients de d'à, <:/&, afc, ^ dans ces deux relations sont donc proportionnels. En écrivant ce fait et tenant compte des relations (19) et (20)', on a

X, dF

On trouve de même

Nous avons ainsi établi les conditions (23) et (23)' d'une part, (20) 61(25)' d'autre part, qui expriment la compatibilité. Ces conditions ont une interprétation géométrique simple : elles montrent que les trois vecteurs (X, fji, v), (X,, [/.,, v<), (X2, {JL2, v2) ont à chaque instant, en chaque point de la discontinuité, la même direction et que leurs longueurs forment une progression géo-

, . j . 1 dF n

métrique de raison -? -7-* Comme on peut toujours supposer

qu'on a pris l'instant actuel pour instant initial, on voit que cette raison est égale à la vitesse de propagation G de la discontinuité.

En résumé, quand la compatibilité existe, et c'est ce qu'on doit admettre comme le cas général pour un mouvement déterminé quelconque, une discontinuité du second ordre est caractérisée par un vecteur (X, jji, v) et un nombre G, la vitesse de propagation : les deux autres vecteurs (X,, a,, v, ), (X2> [*2? v2) ont même direction que le premier (X, m, v) et sont égaux au premier multiplié respectivement par G et G2. On peut appeler la direction

commune de ces trois vecteurs la direction de La discontinuité.

On peut, en particulier, classer les discontinuités en discontinuités purement longitudinales dans lesquelles la direction de la discontinuité est, en chaque point, normale à la surface S, et en discontinuités purement transversales dans lesquelles la direction de la discontinuité est, en chaque point, tangente à la surface S.

Gomme l'a montré M. Hadamard, les mêmes propriétés s'étendent aux discontinuités d'ordre n. ( Voyez aux exercices.)

719. Variation des dérivées de la densité dans une discontinuité du deuxième ordre. — Nous avons indiqué (n° 717) la méthode directe par laquelle M. Hadamard trouve la variation de densité dans une discontinuité du premier ordre. Pour résoudre le même problème, dans les discontinuités d'ordre supérieur, M. Hadamard emploie la méthode analytique suivante :

Partons de l'équation de continuité

po,

où D désigne le déterminant fonctionnel du n° 694, de x9y, z par rapport à #, b, c.

Prenons les logarithmes népériens

Lp — Lpo =— LD,

puis les dérivées des deux membres par rapport à «,

,-x àLp dLp0 l^m

da da D da

A l'instant t, la surface de discontinuité a pour équation dans le milieu primitif

quand on passe d'un côté à l'autre de cette surface, p0 varie d'une manière continue ainsi que ses dérivées, car les discontinuités de o0 affectent une autre surface. Les dérivées premières de x, y, z étant continues, p varie d'une manière continue d'un côté à l'autre

de S. Mais quand on traverse cette surface S, la dérivée — —