CHAPITRE XXXIII. — CINÉMATIQUE DES MILIEUX CONTINUS. 3l
subit une variation brusque qui, d'après (26), est donnée parla formule
dans le deuxième membre de cette formule, nous faisons sortir le déterminant D du signe 0, car les dérivées premières de x,y,z par rapport à «, 6, c sont continues d'un côté à l'autre de la surface S. Calculons - — Nous trouverons
da
àD à2x f ày àz dz dy àa da2 \ àb àc db àc
à- y f àz àx dx dz
da db \ de da de da
d'2 z / dx dy dy dx\
dade \da db da db J
où il J a neuf termes analogues à ceux qui sont écrits. Quand on traverse la surface, les dérivées premières de ce, y, z ne varient
pas; les seuls termes -r—r •> . •• ? • • • subissent des variations que
1 da1 da db '
nous avons calculées plus haut (équations 18 et 18'). On a donc
/ *{àT>\ X /dFy /dy dz dz dy\
l \~dct ) - Id- \6â) \db de db de J ~*~ "
|j. dF dF /dz dx dx àz
h2 da db \ de da de da
v dF àF I àx ày ày àx\
/i2 àa àc \àa db da db J
En portant cette expression dans la relation (27) nous aurons la variation de la dérivée de Lp par rapport à a. Mais on peut simplifier la formule en imaginant que l'instant actuel ait été pris pour instant initial. Alors x, y, z se réduisent identiquement à
7 1 1 , • , • h dx ày àz , ,
a. o, c : les dérivées partielles — , -v, — - deviennent égales a 1 et
11 ' da db de °
les autres dérivées du premier ordre deviennent nulles. Dans ces conditions, tous les termes non écrits dans (28) deviennent nuls et l'on trouve
„ àD
1 dF A àF [x àF s àF\ h Oa \ h da h db h de /
da
3l4 ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.
Comme, d'autre part, D — i quand on est à l'instant initial, la formule (27) devient
On trouvera, de même.
dF
dF
dF
da
da
db
de )'
1 dF
h db
A dF [x dF v <)F\ y /i da h db h de J
1 dF h de
(l dF 11 dF v dF\ \ Il da h db h de J
db
s /dhp
Ces trois variations sont proportionnelles aux cosinus directeurs de la normale à la surface de discontinuité, le facteur de
proportionnalité
Il dF 11 dF v d¥\ \li da h db h de j
représentant, au signe près, la projection du vecteur caractéristique (X, u,, v) sur la normale à la discontinuité. Les variations des dérivées de densité dépendent donc seulement de la composante normale du vecteur X, ^, v. Si la discontinuité était purement tangentielle , les trois variations (3o) et (3o7) seraient nulles. Réciproquement si ces variations sont nulles, la discontinuité est tangentielle : c'est ce qui a lieu, en particulier, pour un liquide incompressible.
On a ainsi, pour le second ordre, des résultats analogues à ceux du n° 717. Ces résultats s'étendent, avec les mêmes conclusions, comme l'a montré M. Hadamard, aux discontinuités d'ordre supérieur. ( Voyez aux exercices.)
720. Variation de la rotation moléculaire instantanée dans une discontinuité du second ordre. — Soit comme plus haut û la rotation instantanée en un point : cette rotation est un vecteur ayant pour projections les quantités
c 1 / dw dv \ ~ 2 \dy Oz)1
qui dépendent de dérivées du second ordre des coordonnées. Voyons quel est le saut brusque que subit cette rotation quand on traverse la surface S. Pour simplifier, nous pouvons toujours
