CHAPITRE XXXIII. — CINÉMATIQUE DES MILIEUX CONTINUS
supposer que l'instant actuel a été pris comme instant initial; alors x, y, z sont égaux à «, b, c, et l'on a
i / dw dv\ * = «2 \~db ~Tc)' ""
Mais les formules du numéro précédent donnent
vG[3,
^ dw
°-âb
h ôb
hï dt db
i d¥ en appelant G la vitesse de propagation — — - et ^ le cosinus de
l'angle de la normale à la surface avec 0#, P — T 37' On a pour les
autres variations des expressions analogues, et l'on trouve finalement
o£ ={G(vp— hy),
8ï) = |G(Xy — va), • 8Ç = |G({ji.a — Xp).
Donc le vecteur SÇ, 8yj, 8Ç représentant la variation brusque de la rotation moléculaire instantanée est le demi-moment de la vitesse de propagation portée sur la normale par rapport à l'extrémité du segment Çk, jjl, v) représentatif de la discontinuité.
On peut remarquer que la composante tangentielle du vecteur (X, pi, v) intervient seule ici : en laissant à cette composante la même valeur et faisant varier la composante normale, on n'altérerait pas 8£, Zt\, 8Ç.
Au contraire, comme nous l'avons vu dans le numéro précédent, la composante normale du vecteur (X, u., v) intervient seule dans la variation brusque de la densité d'un côté à l'autre de la surface de l'onde.
EXERCICES
1. Vérifier effectivement par le calcul que si l'on prend la dérivée de pD par rapport au temps, en suivant un élément dans son mouvement, on obtient l'équation de continuité d'Euler (n° 701).
Réponse. — Développant D et appelant les mineurs tels que
dy dz dz ôy da db da db
on a
car
, dx
da dt
du
dD ~dt
du dyz du d yz du d yz
da d bc dv dzx da d bc dw dxy da d bc
db d ca dv d zx db d ca dw dxy
de d ab
dv d zx
de d ab
dw dxy
db d ca de d ab
Mais u étant supposé exprimé en x, y, z devient une fonction de a, b, c par l'intermédiaire de x, y, z (formules i du n° 691 ); donc
du du dx du dy du dz
da dx da dy da dz da '
, , , , du du dv on calcule de même -rr ? -r— > .— » db de da
On a alors, après réductions,
dD (du dv
dt
dw
\ dx dy dz
et l'équation — (pD) = o donne bien l'équation de continuité d'Euler.
2. Vérifier analytiquement que, dans un corps solide en mouvement, les lignes de courant à un instant t sont les hélices que décriraient les points du corps dans le mouvement hélicoïdal tangent.
Réponse. — Prenant comme axe Oz l'axe du mouvement hélicoïdal tangent à l'instant considéré t, on a, pour les proportions u, v, w de la vitesse d'un point x, y, z du corps u = — ry, v = rx, w ■= y, /• étant la rotation instantanée autour de Oz à l'instant considéré et y la vitesse de glissement le long de O.S. Les équations des lignes de courant à l'instant t sont alors
On peut les écrire
et, en intégrant,
dx dy dz
— ry rx y
x dx + y dy — o,
y x dy — y dx
ctz — — — i
r xz-Jryi
z -+- - arc tan g — = C, r x
Ces équations définissent un système d'hélices toutes de même pas autour de Oz.
3. Discontinuités cV ordre supérieur. — Soit une discontinuité d'ordre n : rangeons les dérivées nièmes de chacune des coordonnées, de x, par exemple, sur /?,+ i
