CHAPITRE XXXIII. — CINÉMATIQUE DES MILIEUX CONTINUS
lignes d'après l'ordre de dérivation par rapport à £,
d"x da"
dn x dan-[db
d"-lx'
dn -lx'
dan'2db
dan~2
dx(n-i)
dx^'1-^
da
db '
d'lx
dcn
dn~xxy
c)cn-\
de-2 '
dx("-^
de
. . , nièmes
de
par
rap
où x', x" , . . ., #(") sont les dérivées premières, secondes, port à t.
Chacune de ces lignes définit un facteur cle proportionnalité, la première \, la deuxième Xn ..., la (n .-h i)ièmc)N/. On aura un Tableau analogue pour^' et z avec n ■+- 1 facteurs correspondants \xi et v-. On a ainsi, en définitive, n -+- 1 vecteurs (X, [A, v), (X„ fi„ v,), ..., (\t, ;j.,;, v„).
Les conditions de compatibilité cinématique exigent que tous ces vecteurs aient même direction et que leurs longueurs forment une progression géométrique dont la raison est la vitesse G. . (Hadamard.)
4. Variation de la densité dans une discontinuité d'ordre n. — En employant
la méthode du n° 719, on démontrera que les variations brusques des dérivées
d'ordre n — î de logo, par rapport à a, b, c sont proportionnelles aux termes du
développement de
j(dF dF dF\>-
h'1-1 \ da
le facteur de proportionnalité étant
1 dFh da
db
h ~db
de)
v dF h de
c'est-à-dire la projection du vecteur caractéristique de la discontinuité (~K, jjl, v) sur la normale à la sur/ace. (Hadamard.)
5. Dilatations principales dans une déformation infiniment petite. — Démontrer que les coefficients des dilatations principales en un point pour une déformation infiniment petite (n° G85 ) sont les racines de l'équation du troisième degré en 8 ( n° 670 ) :
du.
dx
dv dx
du dz
du
dy
d\v dx
dv dx
dy
dw dy
du dy
dv
du dw dz dx
dw
~ày" dw dz
dv dz~
6. Vitesses de dilatations principales en un point dans un fluide en mouvement (n° 705). — Remplaçant, dans la formule précédente, u, v, w par udty
3l8 ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.
v dt, wdt, et faisant — = s, on obtient une équation de troisième degré en 5 dont les racines sont les vitesses demandées.
7. Théorème de Bertrand. — En tout point d'une particule fluide en mouvement, il y a au moins un élément superficiel fluide dont le plan reste parallèle à lui-même pendant le temps dt {Comptes rendus, 1868, ier semestre, p. 1227".
