CHAPITRE XXXIV. — DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS

billon est nul dans une partie de la masse fluide à l'instant initial t = o, il l'est dans cette même partie à un instant quelconque t, et, réciproquement, si le tourbillon est nul dans une partie du fluide à l'instant t, il l'est, dans cette même partie, à l'instant initial.

A l'instant initial, t = o, w, p, w prennent des déterminations w0, ç0, Wq qui sont fonctions des coordonnées initiales a, b, c des éléments fluides dans la région $l0; les projections Ç, 7j, Ç du vecteur tourbillon Q (n° 710) prennent donc, pour t — o, les valeurs initiales données par les formules

dw0 dv0 àuo dwQ __ di>0 du0

A l'instant £, l'élément fluide parti du point <2, b, c occupe une position x, y, z et possède une rotation moyenne (ou tourbillon) de projections

. £ dw dv du dw dv du

dy dz dz dx dx dy

Il faut montrer que, si, dans une partie du fluide, £0, 7)0, Ç0 sont nuls, il en est de même de Ç,"tj, Ç et inversement. C'est ce que Cauchy a établi d'une manière simple en montrant que £, r0 Ç sont des fonctions linéaires et homogènes de Ç0, 7)0, Ç0 et inversement. Démonstration de Cauchy. — D'après les hypothèses faites dans l'énoncé du théorème, on peut, comme nous l'avons vu dans le numéro précédent, écrire les équations du mouvement

du dQ dv dQ dw dQ

dt dx dt dy dt dz

en posant

Nous désignerons, pour abréger, par ur, v', w' les dérivées —f-i-r>

dw , . -. , . ,

—rri et nous écrirons les équations du mouvement

da; dj' dz

Dans ces équations, Q est regardé comme fonction de x, y, s, £,

mais œ, y, z sont des fonctions de a, b, c, t. On a donc

dQ dQ dx da dx da

dQ dy dQ dz dy dx dz da

ou, d'après (i5),

dQ , dx da da

, dy , dz m da da '

on trouve de même

dQ , dx db db

,dy ,dz

db ^ db

Éliminant Q entre ces deux relations à l'aide de la relation

d fdQ\ d fdQ

on a l'équation

da V db 1 db V da

du' dx du' dx dv' dy dv' dy dw' dz dw' dz da db db da da db db da da db db da

Si maintenant on remarque que, d'après les théorèmes élémentaires sur l'interversion des dérivations partielles, on a

d I du\ du' dx d / dx\ du

dt \da) da dt dt \da J da

on reconnaît sans peine que le premier membre de (16) est la dérivée partielle, par rapport à t, de la quantité

du dx du dx dv dy dv dy dw dz dw dz da db db da da db db da da db db da

Cette quantité, ayant sa dérivée par rapport à t nulle, est donc indépendante du temps t : elle est égale, pendant toute la durée du mouvement, à sa valeur initiale; or, à l'époque t = o, on a

u = u0, v = v0, w — wp0, a? = a, y = b, z = c

et, par suite, toujours pour t = o,

dx dx dy dy

da ' db ' da ' db '

la valeur initiale de la quantité considérée est donc

dv0 du0 da db