CHAPITRE XXXIV. — DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS
On en conclut l'équation
du dx du dx dv dy dv dy dw dz dw dz àvç du0 da db db da da db db da da db db da da db
et deux équations analogues obtenues en permutant a, b, c et u0, p0, Wq. Nous écrirons ces trois équations en introduisant la notation des tourbillons (i3) : nous aurons ainsi
du dx du dx dv dy dv dy dw dz dw dz da db db da da db db da da db db da
, du dx du dx dv dy dv dy dw dz dw dz t
* db de de db db de de db db de de db '
du dx du dx dv dy dv dy dw dz dw dz de da da de de da da de de da da de
Introduisons maintenant dans les premiers membres de ces équations les dérivées partielles de u, e, wpar rapport à x, y, z. Pour cela, il suffit de remarquer que, à l'instant £, la vitesse de l'élément dm qui est au point x, y, z est bien déterminée : les projections a, v, w de cette vitesse sont donc des fonctions de x,y, Z) d'autre part, on peut regarder ces projections comme fonctions de a, 6, c par l'intermédiaire de x, y, z, qui sont fonctions de a, b, c : on a donc
du dx du dy du dz dx da dy da dz da
du
db
du dx du dy du dz dx db dy db dz db3
en portant dans la première des formules (18), on voit que le premier terme de cette formule devient
du dx du dx du / dx dy dx dy\ du f dx dz dx dz\ da db db da ~~ dy \àb da la db / dz \d~b ~dâ da ~db)'
On calcule de même les deux autres termes dans la première formule (18), en permutant x,y, z et u, v, w,
dv dy dv dy dv / dy dz dy dz\ dv l dy dx dy dx\
da db àb da " ~ dz\db da da db / dx \àb da da db / '
dw dz dw dz dw I dz dx dz dx\ dw / dz dy dz dy\
da db db da " dx \db da da db / ~^ dy \~db da 9â db /'
Ajoutant ces trois quantités pour les égaler à 2Ç0, d'après la pre-
mi ère formule (18), on a
/ dw
/dz dy dz dy
dv
dz] \db da
dw\ /dx dz ôx ) \db da
da db
dx dz N da db j
l dv du\ / dy dx dy dx\ \dx dy / \db da da db J
On transformerait de même la deuxième et la troisième des équations (18), et l'on obtiendrait ainsi les trois équations suivantes, dans lesquelles nous remplaçons les quantités - — ,
par 2?, 27i, 2Ç,
dz
, dz dy dz dy * db da da db
/ dx dz dx dz 1 \db da da db
dz dy dz dy\ I dx dz
de db db de J \dc db db de
dx dz db de dx dz
t / dz dy dz dy\ /dx dz
\da de de da J \da de de da
/dy dx dy dx\ '^{db da~da"db) = ^°'
/dy dx dy dx\ ^\dc~db~ db de J = *0'
/dy dx dy dx\ ^\dâ"dc ~ de dâ.) =Tio'
On obtient des formules équivalentes plus simples en résolvant ces trois équations du premier degré par rapport à Ç, rj, Ç. Pour
avoir £, on multipliera la première de ces équations par — , la
uT* OIT
deuxième par — > la troisième par -^- et l'on ajoutera. Le coefficient de Ç dans la somme est alors le développement du déterminant
dx dx dx
da db de
dy
dy
dy
da
db
de
dz
dz
dz
da
db
de
par rapport aux éléments de la première ligne : les coefficients de 7) et Ç sont nuls, comme on le vérifie immédiatement. On a donc
r y y dx dx dx
D« = «• Ta + l» db +Ço^;
on trouve de même, en multipliant les équations (20) par-^-> —-»
