CHAPITRE XXXIV. — DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS

735. Exercice. — Mouvement d'un liquide pesant s' écoulant par le fond d'un vase de révolution d'axe vertical; hypothèse du mouvement par tranches parallèles. — Soit un vase de révolution autour de la verticale descendante Oz : ce vase est plein d'un liquide pesant immobile jusqu'au niveau Ox : nous prendrons ce niveau pour plan des xy, l'axe 0~ étant dirigé vers le bas. Supposons qu'à l'instant t = o on débouche une large ouverture circulaire horizontale Ai Bi dans le fond du vase et imaginons que le vase soit alimenté de façon que le niveau reste horizontal et constant. On demande de trouver le mouvement du liquide.

Nous donnerons une solution approchée de ce problème, fondée sur l'hypothèse du mouvement par tranches parallèles (1).

Le mouvement étant évidemment symétrique autour de Oz, la vitesse W d'un élément peut être décomposée en deux composantes, l'une w parallèle à Oz, l'autre 5 dirigée suivant le rayon perpendiculaire à Oz. Nous admettrons que la forme du vase est telle que s soit négligeable par rapporta w; cette hypothèse exige que les parois du vase soient peu inclinées sur la verticale, puisque, sur la paroi, la vitesse W doit être tangente à la paroi.

Fig. 3a8.

Nous supposerons donc s nul et nous admettrons de plus que, en tous les points d'une même section S perpendiculaire à l'axe, toutes les vitesses w sont les mêmes. D'après cela, w est une fonction de z et t. Pour z = o, w prend une valeur w0 qui est la vitesse des points de la surface libre A0B0 et, pour une certaine valeur z = h égale à la profondeur du vase, w prend une valeur w^ qui est la vitesse des points de la tranche AiBt constituant l'ouverture, c'est-à-dire la vitesse d'écoulement. Appelons S0, S et Si les aires des sections A0B0, AB et AiBt : S0 et S4 sont constants, S est fonction de z (Jig. 328).

Actuellement l'équation de continuité est remplacée par cette condition que le volume liquide qui, dans le temps dt, traverse une section droite

( ' ) Voir : Hydromechanics de Besant, et Elementary T realise on Hydrodynamics de Basset.

quelconque AB est le môme pour toutes les sections : on a donc

(38) S0 w0 = S w = St wt.

D'après nos hypothèses, u, v sont nuls, w est une fonction de z et t : la seule force appliquée est la pesanteur, X = Y — o, Z = g. Sur les trois

équations d'Euler (35), les deux premières montrent que ~ et -— - sont

T ' dx dy

nuls; p est donc fonction de z et t seulement; la troisième donne

„ . i dp dw dw

v Jl p dz b dt àz

D'après les conditions (38) on a

W = "S Wqi

où S est fonction de z seul et w0 de t seul : donc

dw S0 dw0 ~dt ~ "S dt

L'équation (39) est alors

1 dp S0 dw0 dw

~ç>dz=g~lî~dt~~W~dz'

Donnons à t une valeur constante, multiplions par dz et intégrons; nous avons

1 , dw0 r" dz 1 „ „ , .

où F(£) désigne la constante d'intégration qui peut dépendre de t.

Pour z = o, la pression /? est la pression atmosphérique II et la vitesse w la vitesse w0 à la surface libre : donc

-II =— - wl^-F(t).

De même pour z = h, la pression p à l'orifice d'écoulement est sensiblement égale à la pression atmosphérique IT, et w k w\\

1 *-r ,0 dwn r l dz 1 , . .

Retranchons ces deux relations membre à membre, en désignant par a