CHAPITRE XXXIV. — DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS

rhdz

l'intégrale / -^- qui dépend de la forme du vase : nous aurons

aS°~Jr =^ + ^o w'î)'

c'est-à-dire d'après (38)

Gomme S0 est, par la nature même de la question, supérieur à Si, le coefficient de w$ est négatif, et l'on peut écrire

dt en posant

rfB,-=*(x. -*§),

2 a S0 \Sf / aS0À-

On en déduit

i au

dw0 dwQ

Wn A -h W{

D'où, en intégrant et remarquant que, pour t = o, w0 = o, car le liquide

part du repos

2À/c£ = Log ? >

À — cv0

ghnt £ — hkt

La vitesse d'une tranche quelconque w et la vitesse d'écoulement wx

sont ensuite données par les relations (38).

Quand t augmente indéfiniment, w0 tend vers la limite X; w et w^

S S tendent vers les limites X — , X ^-« Le mouvement tend donc vers un état

permanent. La limite de la vitesse d'écoulement est, d'après les valeurs de X et fc,

r i so c t / igh

lim Wt -

Dans le cas particulier où Si est petit par rapport à S0, cette limite est voisine de \Ji.gh.

Nous retrouverons ce résultat directement dans l'étude du mouvement permanent (n° 744).

736. Autre forme des équations du mouvement. — On peut écrire autrement les équations du mouvement (35) en faisant apparaître les composantes Ç, ttj, Ç du vecteur tourbillon au point (x,y, z) à l'instant t.

Pour cela remarquons que, W2 désignant le carré de la vitesse d'un élément

on a identiquement

i T,,n\ du dv dw

dx \i 1 dx dx dx

et, par suite,

du du du d /i W2\ (du dv\ I du dw\

dx dy dz dx\i ) \dy dx) \dz dx ) '

d'où, d'après la notation employée pour les tourbillons (n° 706),

- ( - W2 ) -f-2(rjw — Çf).

du du du d

— -+- v ■ — -+- w — = — dx dy dz dx

Transformant de même les quantités analogues qui figurent dans les équations du mouvement (35), on voit que ces équations peuvent s'écrire

p dz dz \i / dt

737. Cas où p étant fonction de p les forces dérivent d'un potentiel. — Nous avons déjà étudié ce cas avec les variables de Lagrange (n° 730) et nous avons, pour ce cas, démontré le théorème de Lagrange d'après Cauchy. Avec les variables d'Euler, on peut retrouver les mêmes résultats comme il suit :

Supposons que p = f(p) et posons, comme plus haut,

rp dp

•p p0 supposons, en outre, que l'on ait

v ^u v dXJ dU

ox dy dz

U étant fonction de x, y, z, t. Les équations (4o) pourront