CHAPITRE XXXIV. — DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS

s'écrire

du , Y . dH

, dv t dU

dw ,, , dH

où H désigne la quantité

en désignant, comme plus haut (n° 730), par Q la différence U — P.

Équations de Helmholtz. — En éliminant la fonction H entre ces équations, nous obtiendrons trois relations, équivalentes à celles que, d'après Cauchy, nous avons déduites de l'élimination de Q entre les équations (i5) du n° 730.

Ecrivons, par exemple,

oy \ oz J oz \ôy /

Nous aurons

d*w d*v d ., . d fy , .

D'après la valeur de Ç, l'ensemble des deux premiers termes est égal à 2 ~; on a donc, en développant,

dP d£ d£ ■' / dv dw \ du ^ du /

dt dy dz \dy dz dy dz \

drt dt, dy ô

Mais on a identiquement

d* <hj ^ c'a? c^ oz

et, d'après l'équation de continuité,

i dp du dv dw

p dt dx dy d

Remplaçons alors, dans l'équation ci-dessus, — H- -~ par — -

1 7 l ? dy dz r d:

35o ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT DES MILIEUX CONTINUS.

dv dw du i dp „ -,

et . -r 1 — r— par — .'- , elle devient

dy dz r dx p a£

<9w „ dw

<tè (^ ^ dt t dp , du

dt dx dy dz P dt dx { dy b dz

les quatre premiers termes forment la dérivée de ; par rapport au temps, prise en suivant l'élément fluide dans son mouvement, c'est-

a-dire -7- : on a donc dt

dt £ do „ du du „ ^w

<i£ p dt dx dy dz

ou encore (43)

dt\p / p dr p o>y p dz

On aurait, par un calcul analogue, les deux équations

I d / 1\\ £ dv y] dv £ dv

\ dt\p) ~ p dr^~ p dy~*~ p ai'

\ dt \ p / p dx P dy p dz

Ces équations ont été employées parHelmholtz pour démontrer d'importants théorèmes relatifs aux tourbillons, sur lesquels nous reviendrons plus tard.

Nous allons montrer comment on en déduit facilement le théorème de Lagrange.

Démonstration du théorème de Lagrange déduite des équations de Helmlioltz. — Si l'on suit une particule dans son mouvement, les coordonnées x,y, z de cette particule sont des fonctions du temps, ainsi que w, p, w, £, 7), Ç et p. On peut alors regarder les équations (43) et (43') comme un système de trois

équations différentielles linéaires et homogènes définissant -, -, -

en fonction du temps, les coefficients de ces équations — > —t

-p? ••• etc., étant des fonctions du temps. L'intégration de ces

équations fournira pour-»-» - des fonctions de t dépendant

d'une façon linéaire et homogène de trois constantes arbitraires