CHAPITRE XXXIV. — DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS

qui seront, par exemple, les valeurs—0? — , — des trois fonctions

1 ' r r po po po

à l'instant initial. On aura ainsi des expressions de la forme

| = |Vi(0 + */.<0 + £/.<«).

p po po po

1 P po po po

\ P po po po

Dès lors, si à l'instant initial la rolation de la particule fluide considérée est tuille, Ç0, Y)0, Ç0 sont nuls et, par suite, £, Y), Ç le sont à un instant quelconque.

Cette démonstration revient au fond à celle de Cauchj : si dans les relations (21) établies au n° 730, d'après Cauchj, on remplace D par — y on obtient précisément les relations (44) dans lesquelles les fonctions fK (t), fz(t), ... sont connues et égales

(j'y* OIT

à — > -ry? • • • • Il résulte de là que les relations de Cauchj (21) du

n° 730, dans lesquelles on considère — * 4^., — comme des con-

^ Po po Po

stantes arbitraires, constituer, t précisément les intégrales générales des équations de Helmholtz (43)et(43/) regardées comme défi-

nissant-r --> - en fonction du temps. C'est ce qu'on vérifiera faci-

lemenl. ( Voir aux Exercices.)

738. Cas où p étant fonction de p les forces et les vitesses dérivent d'un potentiel. — L'intégration des équations se simplifie quand les trois conditions suivantes sont remplies :

i° La densité est fonction de la pression ;

20 Les forces X, Y, Z dérivent d'une fonction U(.r, y, s, t) pouvant contenir t\

3° Les vitesses u, t>, w dérivent d'un potentiel <p(#,y, s, t)\ en d'autres termes les tourbillons sont tous nuls.

Posons alors, comme plus haut,

les équations (35) du mouvement prennent la forme

du du du du dQ

dx dy dz dt dx

En remplaçant u} t>, w par -^ > -y, -¥ , on écrit la première de ces équations

dy d2 cp dy d2 y dy d2y d2 y dQ

dx dx2 dy dx dy dz dx dz dx dt dx

ou

encore

d [ i \/àoy dx ( i [ \dx J

\ày)

ce

qu'on peut écrire

dx

W2 étant le carré u2-h v2 H- w2 de la vitesse de l'élément placé en x,y, z. Les deux autres équations du mouvement montrent de

même que les dérivées partielles de la quantité - W2+ — — Q,

par rapport à y et z} sont nulles.

Cette quantité est donc indépendante des variables #, y, z et ne dépend plus que de la quatrième variable t. On a ainsi l'équation unique

(45) £W2+^-Q = <KO ou, d'après la définition de H,

(46) H+g!=<KO,

qui remplace les trois équations du mouvement. On peut faire rentrer la fonction du temps <\>(t) dans cp. En effet, jusqu'à présent cette fonction cp a été définie uniquement par cette propriété

que

dy d® dy

dx dy dz '

or toute aulre fonction cp 4 différant de cp par une fonction de t