CHAPITRE XXXIV. — DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS

seulement, par exemple

?i = <p— / ty{t)dt,

'■to

possède évidemment la même propriété et peut également servir de potentiel de vitesses, puisque les dérivées partielles de o, par rapport à x, y, z, sont identiques à celles de cp. Mais alors l'équation (45) s'écrit

i dt

•i \\àx )

fï

HSfh

f)cp ~dt ~

dp à l

dt + dx y

dx )

dr\9 ày)

dz)

En résumé, les équations du mouvement peuvent être ramenées aux suivantes :

La deuxième de ces équations est l'équation de continuité (36); la troisième, l'équation caractéristique.

On a ainsi trois équations pour déterminer ®,p et p en fonction de x, y, z, t : la fonction cp n'est déterminée qu'à une constante additive près, car cp ne paraît dans toutes les équations que par ses dérivées partielles. IL faudra distinguer deux cas suivant que co est uniforme ou non dans le fluide (n° 710).

Liquide incompressible à température constante. — Dans le cas où p est constant, l'équation de continuité, dans l'hypothèse d'un potentiel de vitesses o, se réduit à l'équation de Laplace

Acp = o

que nous avons étudiée en détail à propos de l'attraction. Comme la fonction Q est alors égale à U — ~s il faudra intégrer, sous les conditions initiales et les conditions aux limites, les deux équations

ày)

Htïh

dç> dt

d1® d'1^ d2y ~dx* + dy- """ ~dzï

-rr — U-H

définissant/) et cp en fonction de x, y, z, t.

Dans ces équations, Ja somme ( -p ) -h ( -~ ) -f- ( ~ J est égale

au carré W2 de la vitesse.

Remarque. — On peut évidemment rattacher les résultats de ce numéro aux équations (41)* Actuellement, le mouvement étant

, >. r , , , du d2o

irrotationnel, ç, r,, ç, sont nuls ; de plus, -r- = - — '- >

Les équations (41) s'écrivent donc

elles montrent que la fonction H + -^ est indépendante de a?, jr, £, comme nous l'avons vu par un calcul direct.

739. Exercice. — Une masse liquide dénuée de poids affecte la forme d'une couche sphérique de Trayon extérieur a entourant un noyau sphérique solide de rayon b : la surface extérieure de cette couche est soumise à une pression constante IL Dans ces conditions, le système est en équilibre. A un instant donné t = o, le noyau solide intérieur est anéanti : trouver le mouvement du liquide.

Cet exercice est emprunté à l'Ouvrage intitulé : « An elementarv Treatise on Hydrodynamics and Sound », by A.-B. Basset, M. A., F. R. S., ïrinity Collège, Cambridge, 1890, p. 25.

Il est évident, par raison de symétrie, que la vitesse de chaque élément est dirigée vers le centre et que, à chaque instant, les points qui sont à la même distance du centre ont la même vitesse : les surfaces libres intérieures et extérieures restent donc sphériques.

Le liquide partant du repos, le mouvement est irrotationnel, d'après le théorème de Lagrange. Les vitesses dérivent donc d'un potentiel cp. Si l'on prend comme origine le centre commun O des deux sphères, point qui reste fixe, et si l'on appelle r la distance d'un élément fluide au centre, la fonction cp est, par raison de symétrie, fonction des seules variables r et t :

Ecrivons qu'elle vérifie l'équation de continuité

d^o d2cp d*v

dx* ~*~ dyï + ~d$ = °"