CHAPITRE XXXIV. — DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS

On a, puisque <p dépend de x,y, z par l'intermédiaire de

r = \J x"1 H- y% -+- ,s3, dcp t)cp x d2cp <j2cp a?2 <9cp / i a?2

da? dr /• tte2 t)r2 r2 dr \ /• 7

<92 o d% cp , .

on a de même -~-y -t— *-j d'où pour l'équation de continuité

dyï dz* V ^

ce qu on peut écrire On a donc

<3>2 cp 2 do

év-s>-

F(£) désignant une fonction de 2 et

Fi(^) étant une deuxième fonction de t. On peut alors écrire les composantes ii. v, w de la vitesse W qui sont les dérivées partielles de cp par rapport à a?, y, z. La vitesse elle-même estimée positivement suivant le prolongement du rayon r a pour expression

W = —r-> dr

la dérivée étant prise suivant le rayon, c'est-à-dire

Gomme le système part du repos, W est nul avec t, la fonction F(£) s'annule donc avec t.

La première des équations générales (48) donne alors, puisque U = o#

(5o) £=I!£)Fi(*)-I.Ws.

Appelons, à un instant quelconque £, R0 le rayon de la sphère extérieure, W0 la vitesse des éléments situés sur cette sphère : R0 est une fonction de t et l'on a évidemment

(5l) w°-^r--Rf'

d'après la formule (49); appelons de même Ri le rayon de la sphère inté-

rieure et Wi la vitesse des éléments situés sur cette sphère : nous aurons de même

{ 2) Wl dt R?

Gomme à chaque instant la pression extérieure est II et la pression intérieure o, on a, en faisant successivement r = R0 et r = Ri dans l'équation (5o).

. P Ro 2

D'où, en retranchant et remplaçant W0 et Wi par leurs valeurs (5i)

Multiplions les deux membres de cette équation par i¥ (t) dt en remarquant que, d'après (5i) et (52), i¥ (t) dt est égal à iH^ dR0 et à 2 Rf dRlw Nous pourrons écrire

a5Hi-Hi-,F(or(o*(é-i)-P(0.(Ç-^)-

Le deuxième membre est alors la différentielle du produit d'où en intégrant

C désignant une constante que l'on détermine en remarquant que, pour

t — o, Ri = b et F(0 = o. Donc C = — — 63 et l'on a l'équation

On trouverait de même (.54) |S(R3 aa) = F!(0(^J.):

Ces deux équations exigent que

condition évidente, car le volume liquide compris entre les deux sphères limites est constant. Ces équations permettraient de calculer R0 et Rt en fonction de t; par exemple, pour calculer R1? il suffirait de remplacer dans