CHAPITRE XXXIV. — DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS

la première R0 par (Rf-ho3 — &3)3 et F(£) par Rf — t— • On aurait ainsi une équation différentielle du premier ordre donnant Rt en fonction de t.

Cette équation différentielle, dans laquelle on remplace —j— par Wi, donne

la vitesse Wi en fonction de Rt.

Faisons le calcul dans l'hypothèse que le liquide s'étend à l'infini : alors a = oo, c — co, R0 = co. L'équation (53) devient donc

i II F2(t)

En y remplaçant F(£) par Rf —~-y on a

^Rt An v/^3— Rf

où il faut prendre le signe — , car Rt diminue quand t augmente. En séparant les variables, on a t en fonction de Ri, par une quadrature. Si l'on veut calculer le temps T au bout duquel la cavité est pleine, il faut intégrer par rapport à Ri de h à o; ce temps est donc

nb z

T = l/l£ / R?rfRi

ou en faisant Rf = b'^x

L'intégrale définie a une valeur purement numérique : c'est une intégrale eulérienne de première espèce B ( -> - ] qui a pour expression

r-ri r-

■ — ou y 7t — >

car r - = Jtz.

740. Equations analogues à celles d'Euler dans un système quelconque de coordonnées. — Nous avons indiqué au n° 733 comment on peut écrire, dans un système quelconque de coordonnées qu q2, q3, les équations du second ordre définissant gr1} q%, qz en fonction de t et deq^, a0 o°

Posons

dqt dqt ' dqz

(A) u'-~dï> u*--dt' u'~~dt

Ces trois quantités sont fonctions de t, q\, q\, q\ : mais on peut les considérer aussi comme fonctions de t et de qx-, q2, q3. Ce nouveau système de variables indépendantes est analogue à celui d'Euler. Nous désignerons par un à de ronde les dérivées partielles prises par rapport au temps dans ce nouveau système. Soit alors /(qx, q%, qs, t) une fonction

des nouvelles variables, on peut avoir à prendre la dérivée -~-> par rapport à i en regardant qt, q2, q$ comme constants, ou la dérivée totale ~-

par rapport à t en regardant qu q2, qs comme des fonctions du temps. Cette dérivée totale a pour expression développée, d'après (A),

df df àf àf àf

dt dqx ' dq2 dq% dt

Les équations de Lagrange, écrites au n° 733, s'écrivent alors immédia-