CHAPITRE XXXIV. — DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS

masse liquide traversant a- dans le même temps; or, pendant le temps dl1 les éléments liquides placés sur <70 avancent jusqu'en c1 d'une longueur Wdt : le volume liquide ayant traversé cr0 est

Fig. 3a9.

donc un cylindre droit de base cr0 et de hauteur W0dt: la masse de ce cylindre est

(61) dm = p o-0 W 0 dt ;

de même à l'autre extrémité, les éléments primitivement sur a- à l'instant t s'avancent pendant le temps dt jusqu'en <j' et la masse dm qui a traversé a- est

(62) dm — paW dt.

Ces deux quantités sont égales.

Nous allons appliquer le théorème des forces vives à la masse liquide qui, à l'instant t, est comprise dans le filet entre les sections <70 et <r et qui, pendant le temps dt, prend la position comprise entre les sections at et cr;.

Quand on applique le théorème des forces vives à un système, il faut tenir compte des travaux des forces intérieures et extérieures.

Actuellement le système étant un liquide parfait incompressible, les éléments matériels en contact sont à des distances constantes les uns des autres et glissent les uns sur les autres sans frottement : les forces intérieures ont donc un travail nul. Les forces extérieures sont : i° les pressions du fluide environnant sur les parois latérales du filet; 2° les pressions /?05"o et/?<r s'exerçant

normalement sur les éléments cr0 et a-, l'une dans le sens du mouvement, l'autre en sens contraire; 3° les forces données.

Il faut écrire que, pendant le temps dt, la variation de la demiforce vive de la masse liquide considérée est égale à la somme des travaux élémentaires de ces forces. Pour cela, divisons la masse fluide comprise entre les sections <70 et g en n -\- i tranches infiniment petites, ayant toutes pour masse dm, par des sections droites intermédiaires <r1 , <72, • • • , <?n au nombre de n : numérotons les tranches o, 1,2, . . . , n ; la vitesse des éléments de la tranche o a été appelée W0 ; nous appellerons de même W( , W2, . . . , Ww les vitesses des tranches suivantes. La force vive totale de la masse considérée entre <70 et a- à l'instant t est alors

efoi(W§ + W?-4-...-hW2);

à l'instant t-\-dt, chaque tranche a pris la position de la suivante, la dernière s'est transportée en a o/ où elle a acquis la vitesse W et la force vive de la masse est

d#n(Wî-+-W| -+-... -t-WA -+-W2); la variation de la demi-force vive est donc

Ldm(Wî — W02).

Calculons la somme des travaux élémentaires des forces. D'abord les pressions sur les parois latérales du filet ont un travail nul, car elles sont normales aux déplacements des éléments sur lesquels elles agissent; la pression p0<r0 est appliquée à la première tranche qui s'avance, dans le sens de cette pression, de W0 dt :

son travail est donc

jo^oW0 dt ou, d'après (61),

- p0 dm ;

la pression pa est appliquée à la dernière tranche qui s'avance, en sens contraire de cette pression, de Wdt : son travail est donc

ou, d'après (62),

— pvWdt

- p dm.