CHAPITRE XXXIV. — DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS

Restent enfin les forces données; par hypothèse, la force X, Y, Z rapportée à l'unité de masse dérive de la fonction de forces U; la force élémentaire appliquée à un élément dm dérive donc de la fonction U dm; si l'élément dm passe d'une position à une autre, le travail de la force élémentaire est égal à la variation correspondante de U dm. Appliquons cette proposition aux diverses tranches, en appelant U0, Uj, . . ., U«, U les valeurs de U dans les diverses tranches o, i , 2, . . . , n et dans la tranche oV : le travail des forces données appliquées à la tranche o est (U {~—U0)dm1 car cette tranche passe de la position o à la position 1 ; de même, les travaux des forces données appliquées aux tranches 1, 2, ..., n sont (U2 — U\) dm, (U3 — U2) dm, .... (U — Un) dm ; la somme de ces travaux est, après réduction,

(U — U0)dm.

Le théorème des forces vives donne donc

-r/m(W2 — Wg) = -p0dm — - p dm +(U — V0)dm;

en divisant par dm et transposant, on obtient l'équation de Bernoulli (60) pour un liquide.

744". Théorème de Torricelli. — Appliquons, en particulier, ces résultats au mouvement permanent d'un liquide pesant, maintenu à un niveau constant dans un vase par un réservoir d'alimentation et s'écoulant par un orifice percé dans la paroi. L'observation montre qu'il s'établit un régime permanent. Comme les éléments fluides situés, à un certain instant, sur la surface libre finissent par s'écouler par l'orifice, les filets fluides partant de la surface vont aboutir à l'orifice (fig. 33o).

Prenons pour plan des xy la surface libre, pour axe des z la verticale descendante. On a alors pour la fonction des forces U = gz. L'équation de Bernoulli (60) s'écrit

tout le long d un filet fluide . Pour déterminer la constante G le long d'un filet, il suffit de connaître W, z et p en un point du

filet : or, sur la surface libre, on a

z = o, p—Pa,

pa désignant la pression atmosphérique; quant à la vitesse W0 des points de la surface libre, elle est négligeable si l'aire de la surface libre est très grande par rapport aux dimensions de l'orifice; il est évident, en effet, que, dans ces conditions, si l'on supprimait l'alimentation du vase, le niveau y baisserait très lentement : nous

prendrons alors

sur la surface libre. Dans ces conditions, la constante a pour valeur

on a donc, le long d'un filet,

Vitesse d'écoulement . — Soient h la distance de l'orifice à la surface libre, W<? la vitesse d'écoulement par l'orifice : pour connaître cette vitesse, il faut connaître la valeur de la pression p à l'orifice d'écoulement; or l'écoulement se faisant dans l'air, la pression à l'orifice est sensiblement égale à la pression atmosphérique pa. La formule (63) donne alors, pour z = A, p = pa,

elle exprime le théorème de Torricelli : La vitesse d'écoulement est la vitesse que prendrait un point pesant tombant dans le vide de la hauteur h.

Débit. — Connaissant la vitesse d'écoulement et la grandeur de l'orifice, on peut calculer le débit, c'est-à-dire la quantité de liquide qui s'écoule pendant l'unité de temps. L'observation montre que le débit ainsi calculé est trop fort : cela tient à deux causes : i°le jet liquide est composé de filets fluides qui vont en convergeant vers l'orifice et qui continuent à converger même après leur sortie de l'orifice {Jîg> 33o); il en résulte que la veine se contracte après sa sortie sur une petite longueur et que pour calculer le débit il faut prendre la quantité de liquide qui passe