NUL

En effet, si du centre attractif m comme sommet on décrit un cône d'ouverture infiniment petite du> (fi g. 287), ce cône coupe la surface en un nombre pair d'éléments d<$, dd\ . . . tournant alternativement leurs faces négatives et positives vers m. A travers le premier élément, le flux de l'extérieur vers l'intérieur est

— fm dd) ,

à travers le deuxième il est -{-fm du> .... Comme le nombre de ces éléments est pair, la somme de ces flux est nulle. Le flux total à travers la surface est donc nul.

Ce théorème devient évident à l'aide de la comparaison déjà faite. Le courant qui suit chaque cône élémentaire de sommet m entre dans la surface en un point, mais en ressort intégralement par un autre. La somme algébrique des quantités de liquide pénétrant dans la surface est donc nulle.

Troisième cas. — Si le point m est sur une surface fermée, le flux de force à travers la surface de V extérieur vers l'intérieur est 27zfm, à condition qu'au point m le plan tangent à la surface soit bien déterminé.

En effet, si l'on considère tous les cônes élémentaires d'ouverture diù ayant m comme sommet, ceux de ces cônes qui sont, par rapport au plan langent en m, du même côté que l'intérieur de la surface, coupent celle-ci en un nombre impair d'éléments superficiels et le flux qui entre par un de ces cônes est fm dix)', au contraire, ceux des cônes qui sont de l'autre côté du plan tangent en m coupent la surface en un nombre pair d'éléments et le flux qui entre dans la surface par un de ces cônes est nul. La somme des flux qui entrent est donc la somme des quantités fm <:/w relatives aux cônes situés d'un côté du plan tangent, c'est-à-dire 2 w/#w, car la somme des ouvertures de ces cônes est l'aire d'une demi-sphère de rayon 1 .

Théorème de Gauss. — Soient /??,, m.2, . . ., mn un nombre quelconque de masses attirantes, les unes extérieures, les autres intérieures à une surface fermée. Le flux de force total à travers cette surface de l'intérieur vers l'extérieur est égal au produit de — ^f par la somme des masses intérieures. En effet, le flux de force total provenant de toutes ces masses est égal à la somme des flux de forces provenant de chacune d'elles; celles qui sont extérieures donnent des flux de forces nuls; celles qui sont intérieures donnent des flux de forces de la forme ■ — /\-fm.

Le flux total est donc

-4 tt/ M',

M7 désignant la somme des masses intérieures.

Autre forme du théorème précédent. — Soit U le potentiel des masses m^ /??2> •• -3 ni,l: le flux de force à travers un élément