CHAPITRE XXXIV. — DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS
mouvement est nul à V infini, et quil y a une source dans le liquide.
Deuxième exemple : Ecoulement permanent irrotationnel d'un liquide par le fond d'un vase indéfini limité par deux plans parallèles. — Soient trois axes rectangulaires, l'axe 0^ étant vertical ascendant; considérons un vase indéfini, limité par les trois plans x = a, x = — «, z = o ; le fond de ce vase est constitué par le plan xOy; imaginons qu'il soit percé d'une ouverture circulaire infiniment petite placée en O. Supposons ce vase plein d'un licjnide pesant qui part du repos pour s'écouler par cette ouverture : le mouvement sera irrotationnel; supposons en outre le régime permanent établi. Nous admettrons que l'ouverture O constitue pour le liquide une source négative.
Dès lors, le potentiel co (x,y, z) des vitesses doit vérifier les conditions suivantes :
i° 11 doit être dans le vase de la forme
cp = - 4-4,0,^, z),
A étant une constante positive, r la distance du point x,y, z au point O, et ^ une fonction harmonique finie et uniforme dans le vase ;
2° Les dérivées partielles -—) —-, ~ doivent être nulles à l'in-
* ace ay az
fini dans le vase, car le mouvement y est nul ;
3° Tout le long des parois, la dérivée -— normale aux parois
doit être nulle; par conséquent, sur les parois latérales x — ± #,
-p doit être nul et, sur le fond, -—- doit être nul ; cela revient à dire
que les surfaces cp = const. doivent couper orthogonalement les parois.
Pour obtenir une fonction cp remplissant toutes ces conditions, prenons les symétriques du point O par rapport aux parois, puis les symétriques de ces symétriques, etc., comme si le point O était un point lumineux et les parois des miroirs. Tous ces symétriques sont placés sur Ox et ont pour abscisses
±2a, d= t\a, ..., ±ina, ..., n étant un entier positif quelconque.
Prenons alors la fonction définie parla série
par
2 na )- -h y"1 H- z'2
.T H- 2/l« j2+jK2 +
•ma
•ma
qui est convergente, car, pour n infiniment grand, le terme général est de l'ordre de — • Cette fonction remplit toutes les con-
dit ions :
i° Les termes qui suivent — forment une fonction à harmo-
nique uniforme, car chaque terme de la série étant à une constante près l'inverse de la distance du point x, y, z à un point fixe, est une fonction harmonique \ cette fonction ù est finie dans le vase ;
20 Les dérivées partielles de cp sont évidemment nulles à l'infini dans le vase ;
o° Un a pour — L une série qu on peut écrire
do
9 va
v = - « \{oc — 2 va f -+- y2 H- z- j pour x = a, cette série devient
somme qui est évidemment nulle, car les termes correspondant à deux valeurs égales et de signes contraires de l'entier impair
2v — 1 se détruisent; on vérifie de même que -7-*- s'annule pour
1 ox l
Enfin, v- est nul pour z = o en tous les points distincts du
point O et de ses images, car en écrivant cette dérivée on voit que chaque terme contient z en facteur.
La fonction cp étant trouvée, la pression est donnée par la première des équations (71).
