CHAPITRE XXXIV. — DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS

Remarque. — Si dans le développement (76) on ne prenait pas soin de retrancher de chaque terme de la forme

y/( x ± i nay- -+- y2 -h z2

la quantité > la série serait divergente.

ina

C'est par un procédé analogue, emprunté à la démonstration classique du théorème de M. Mittag-Leffler, que l'on arrive à rendre convergentes les séries auxquelles conduit la méthode des images, dans des problèmes analogues au précédent relatifs à des vases ayant la forme de parallélépipèdes rectangles (Acta matJiematica, t. VIII, p. 265). On trouvera des indications sur les développements en séries trigonométriques des fonctions auxquelles on est ainsi conduit dans un Mémoire de M. Appell {Journal de Mathématiques pures et appliquées de M. Jordan, 1887, premier fascicule), et dans un Mémoire de M. Lerch (7&zV/., fasc. IV, 1899).

EXERCICES

1. Mouvement d'un liquide symétrique autour d'un axe; fonction de Stokes. — Soit un liquide animé d'un mouvement symétrique autour de Oz. Appelons /*, 6, z les coordonnées semi-polaires d'un élément : la vitesse W de cet élément est, par hypothèse, dans un plan passant par l'axe Os et ne dépend pas de 8. Appelons s la composante de W suivant le rayon vecteur, et w sa composante suivant Oz : s et w sont fonctions de ^ et /•; les lignes de courant sont dans des plans passant par Oz et, dans l'un de ces plans zOr, leur équation différentielle est

dz dr

{ 1) w dr — s dz = o.

D'autre part, l'équation de continuité est (n° 740)

d(rs) div

v ' or oz

Cette équation montre que l'équation (t) admet le facteur intégrant r, et l'on peut écrire

;• ( w dr — s dz) = dà,

^ étant une fonction de z et /•. On a alors

d<\> di>

Or dz

^ s'appelle la fonction de Stokes.

S'il existe un potentiel des vitesses cp, ce potentiel est une fonction de z et /■

seuls et l'on a aussi

dz ôr '

l'équation de continuité est alors

r) ( d'-o\ cP'o

et la fonction ty vérifie l'équation

h-dP=°>

dr\r àr ) r dz2

2. Équations du mouvement des fluides déduites du principe d'Hamilton. — Employons les variables de Lagrange et appelons U la fonction des forces. D'après le principe d'Hamilton (Tome II), considérons l'intégrale quadruple

p dx dy dz dt,

étendue à tous les éléments du liquide à l'instant t, puis aux valeurs de t de l'instant t0 à l'instant tu les positions initiales et finales du système étant données. Cette intégrale, sous la condition de continuité

£) ^ D ( Xi T? Z ) Pn

doit être un minimum pour le mouvement réel comparé aux mouvements infiniment voisins.

On trouvera le calcul détaillé dans Basset, A Treatise on hydrodynamcis, t. I, p. 32.