CHAPITRE XXXIV. — DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS

suivant le rayon, et

w = — dz

suivant la verticale.

Les fonctions cp et p sont déterminées par les deux équations ( n° 747)

m -mi

d2® i O'-p d2v 0/" r c//' as2

dont la seconde est l'équation de continuité. Les conditions aux limites sont que, sur la paroi latérale, les molécules glissent le long de cette paroi; et que sur la surface libre et sur le pourtour de l'orifice z — h s'exercent des pressions égales à la pression atmosphérique. Resal trouve la solution du problème pour des formes particulières du vase déterminées de telle façon que l'on puisse satisfaire à toutes les conditions en prenant, pour cp, un polynôme en r ayant pour coefficients des fonctions de z.

5. Démontrer que les équations (21) et (ai') de Cauchy, p. 333, fournissent les intégrales générales des équations (43) et (43') de Ilelmholtz, p. 35o et 35r.

Réponse. — Dans les équations de Cauchy, remplaçons D par sa valeur — ; la

première devient

( a ) \ - lî ^ + !L» È2L + ?• ?& .

p p0 da p„ db p0 de

Prenons les dérivées totales par rapport au temps

d f\\ l0 du ■% du Ç0 du

dt\pj p0 da p0 db p0 de Dans (,3) faisons

du du dx du dy du dz da dx da dy da dz da

, . du du du . , . , ,

ordonnons par rapport a -r—i -r- » -r- et tenons compte des équations (a) : nous

dx dy dz v

aurons l'équation ('|3) de Helmholtz, p. 35o.