CHAPITRE XXXV. — THÉORIE DES TOURBILLONS
travers une surface fluide ne varie pas avec t, ou enfin, V intensité tourbillonnaire d'une surface fluide est constante dans le temps.
Cas d'une surface fermée. — Il est aisé de voir que le flux de tourbillon à travers une surface fermée tracée dans le fluide est nul. Cela résulte immédiatement de ce que les composantes £, 7j, Ç du vecteur û vérifient identiquement, d'après leurs expressions mêmes, à l'aide des dérivées de u, p, w, l'identité
V4; ùx Oy dz
Alors, étant donnée une surface fermée S limitant un volume V, la formule (i) du n° 534 (théorème de Green), dans laquelle on remplace G, H, K par £, tj, Ç, donne
Si
.w*h***-//jf(S-&*2)*
ou, d'après (4),
f fil, ch = o.
757. Lignes et surfaces de tourbillon. — Nous avons déjà défini les lignes de tourbillon, à un instant £, comme étant les lignes qui admettent pour tangente en chacun de leurs points le tourbillon Û(Ç, 7), Ç) relatif à ce point (n° 707). Ces lignes forment une famille de courbes à deux paramètres telles qu'il en passe une, et une seule, par chaque point du fluide à l'instant t.
Surfaces de tourbillon. — Une surface de tourbillon à l'instante est une surface telle qu'en chacun de ses points elle soit tangente au tourbillon en ce point. Sur une surface de tourbillon on peut tracer une infinité simple de lignes de tourbillon : il suffit, en effet, de tracer sur cette surface les lignes telles qu'en chacun de leurs points le vecteur tourbillon leur soit tangent. Inversement, pour obtenir toutes les surfaces de tourbillon, il suffit de prendre une surface engendrée par des lignes de tourbillon : par exemple, on tracera dans le fluide, à l'instant t, une courbe AB et Ion prendra la suite des lignes de tourbillon issues des divers points de AB;
ces lignes forment une surface de tourbillon. Si la courbe AB n'est pas fermée, la surface obtenue est simplement connexe {ftg> 332). Si elle est fermée, on obtient une surface en forme de
Fie. 332.
tube appelée tube tourbillon (fig. 333) qui n'est plus simplement connexe. Soient ï une surface, û le tourbillon en un point de cette surface, ùn la composante du tourbillon suivant la normale à T; pour que cette surface soit une surface de tourbillon, il faut et il suffît que l'on ait, en chaque point de T,
Qn = o ;
c'est là, en effet, la condition pour que le vecteur û soit tangent à la surface.
Pour qu'à V instant t une surface T soit une surface de tourbillon, il faut et il suffit que la circulation le long de toute ligne fermée L, tracée sur la surface de façon à limiter une aire S simplement connexe, soit nulle.
En effet, traçons sur T une ligne fermée L limitant une portion S de la surface {fig- 332); la circulation le long de L est donnée par la formule
Cl = 1
Si la surface T est une surface de tourbillon, ci est nulle quelle que soit la courbe L, car Ù„ est nul. Réciproquement, si ci est nulle quelle que soit L, l'intégrale double du second membre est nulle quelle que soit la portion S de la surface T à laquelle elle est étendue; donc l'élément différentiel ùn est nul et la surface T est une surface de tourbillon.
Intersection de deux surfaces de tourbillon. — L'intersection L de deux surfaces de tourbillon T et T' est une ligne de
